추론 규칙

  • tatuology : 항진 명제. 항상 참인 명제.
    • \((p ∧ ( p → q )) → q\).

긍정 논법 Modus Pones

\[\begin{array}{l} p → q \\ p \\ \hline \therefore q \end{array}\] \[(p ∧ (p → q)) → q\]

부정 논법 Modus tollens

\[\begin{array}{l} \lnot q \\ p \rightarrow q \\ \hline \therefore \lnot p \end{array}\] \[( ¬ q ∧ (p → q)) → ¬ p\]

가설적 삼단논법 Hypothetical Syllogism

\[\begin{array}{l} p → q \\ q → r \\ \hline \therefore p → r \\ \end{array}\] \[((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)\]

논리합 삼단논법 Disjunctive Syllogism

\[\begin{array}{l} p ∨ q \\ ¬ p \\ \hline ∴ q \\ \end{array}\] \[((p ∨ q) ∧ ¬p) → q\]

가산논법 Addition

\[\begin{array}{l} p \\ \hline \therefore p \lor q \\ \end{array}\] \[p → (p ∨ q)\]

단순화 논법 Simplification

\[\begin{array}{l} p \land q \\ \hline \therefore p \\ \end{array}\] \[( p \land q ) \rightarrow p\]

논리곱 논법 Conjunction

\[\begin{array}{l} p \\ q \\ \hline \therefore p \land q \\ \end{array}\] \[( (p) \land (q) ) \rightarrow (p \land q)\]

용해법 Resolution

\[\begin{array}{l} p \lor q \\ \lnot p \lor r \\ \hline \therefore q \lor r \\ \end{array}\] \[((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)) → (q ∨ r)\]

마지막의 \(q ∨ r\) 부분을 용해식(resolvent)이라 부른다.

\(q = r\) 인 경우를 생각해 보자.

\[\begin{array}{l} p \lor q \\ \lnot p \lor q \\ \hline \therefore q \lor q \\ \end{array}\] \[\begin{align} ((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q)) & → (q ∨ q) \\ ((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q)) & → q \\ \end{align}\]

이번에는 \(r = F\) 인 경우를 생각해 보자.

\[\begin{array}{l} p \lor q \\ \lnot p \lor F \\ \hline \therefore q \lor F \\ \end{array}\] \[\begin{align} ((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ F)) & → (q ∨ F) \\ ((p ∨ q) ∧ ¬p) & → q \\ \end{align}\]

오류 Fallacies

결론 단언의 오류

fallacy of affirming the conclusion

\(((p → q) ∧ q) → p\) 형태의 오류. p 가 거짓이고 q 가 참일 때 거짓이 된다.

  • "(p 이면 q 인데… q 이니까) p 겠지?"
  • "(강아지는 동물인데… 얘는 동물이니까) 강아지겠지?"

가정 부정의 오류

fallacy of denying the hypothesis

\(((p → q) ∧ ¬p) → ¬q\) 형태의 오류. p 가 거짓이고 q 가 참일 때 거짓이 된다.

  • "(p 이면 q 인데… p 가 아니니까) q 가 아니겠지?"
  • "(강아지는 동물인데… 얘는 강아지가 아니니까) 동물이 아니겠지?"

한정 기호의 사용

전칭 예시화

Universal instantiation (UI)

\[\begin{array}{l} ∀x P(x) \\ \hline ∴ P(c) \\ \end{array}\]
  • 모든 x 에 대하여 P(x) 가 참이면, P(c) 는 참이다.

전칭 일반화

Universal generalization

\[\begin{array}{l} P(c) \text{ for an arbitrary } c \\ \hline \therefore \forall x P(x) \\ \end{array}\]
  • 임의의 c 에 대하여 P(c) 가 참이면, 모든 x 에 대해 P(x) 는 참이다.
    • 임의의 c 에 대하여 : 정의역에 속하는 모든 원소를 모두 대입한다 할 지라도

존재 예시화

Existential instantiation

\[\begin{array}{l} \exists x P(x) \\ \hline \therefore P(c) \text{ for some element } c \\ \end{array}\]

존재 일반화

Existential generalization

\[\begin{array}{l} P(c) \text{ for some element } c \\ \hline \therefore \exists x P(x) \\ \end{array}\]