추론규칙 - 기계인간 John Grib

추론 규칙
오류 Fallacies
- 결론 단언의 오류
- 가정 부정의 오류
한정 기호의 사용

추론 규칙

tatuology : 항진 명제. 항상 참인 명제.
- $(p ∧ ( p → q )) → q$ .

긍정 논법 Modus Pones

\begin{array}{l} p \to q \\ p \\ ∴ q \end{array}

$\begin{array}{l} p → q \\ p \\ \hline \therefore q \end{array}$

(p \land (p \to q)) \to q

$(p ∧ (p → q)) → q$

부정 논법 Modus tollens

\begin{array}{l} \neg q \\ p \to q \\ ∴ \neg p \end{array}

$\begin{array}{l} \lnot q \\ p \rightarrow q \\ \hline \therefore \lnot p \end{array}$

(\neg q \land (p \to q)) \to \neg p

$( ¬ q ∧ (p → q)) → ¬ p$

가설적 삼단논법 Hypothetical Syllogism

\begin{array}{l} p \to q \\ q \to r \\ ∴ p \to r \end{array}

$\begin{array}{l} p → q \\ q → r \\ \hline \therefore p → r \\ \end{array}$

((p \to q) \land (q \to r)) \to (p \to r)

$((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)$

논리합 삼단논법 Disjunctive Syllogism

\begin{array}{l} p \lor q \\ \neg p \\ ∴ q \end{array}

$\begin{array}{l} p ∨ q \\ ¬ p \\ \hline ∴ q \\ \end{array}$

((p \lor q) \land \neg p) \to q

$((p ∨ q) ∧ ¬p) → q$

가산논법 Addition

\begin{array}{l} p \\ ∴ p \lor q \end{array}

$\begin{array}{l} p \\ \hline \therefore p \lor q \\ \end{array}$

p \to (p \lor q)

$p → (p ∨ q)$

단순화 논법 Simplification

\begin{array}{l} p \land q \\ ∴ p \end{array}

$\begin{array}{l} p \land q \\ \hline \therefore p \\ \end{array}$

(p \land q) \to p

$( p \land q ) \rightarrow p$

논리곱 논법 Conjunction

\begin{array}{l} p \\ q \\ ∴ p \land q \end{array}

$\begin{array}{l} p \\ q \\ \hline \therefore p \land q \\ \end{array}$

((p) \land (q)) \to (p \land q)

$( (p) \land (q) ) \rightarrow (p \land q)$

용해법 Resolution

\begin{array}{l} p \lor q \\ \neg p \lor r \\ ∴ q \lor r \end{array}

$\begin{array}{l} p \lor q \\ \lnot p \lor r \\ \hline \therefore q \lor r \\ \end{array}$

((p \lor q) \land (\neg p \lor r)) \to (q \lor r)

$((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)) → (q ∨ r)$

마지막의 $q ∨ r$ 부분을 용해식(resolvent)이라 부른다.

$q = r$ 인 경우를 생각해 보자.

\begin{array}{l} p \lor q \\ \neg p \lor q \\ ∴ q \lor q \end{array}

$\begin{array}{l} p \lor q \\ \lnot p \lor q \\ \hline \therefore q \lor q \\ \end{array}$

\begin{aligned} ((p \lor q) \land (\neg p \lor q)) & \to (q \lor q) \\ ((p \lor q) \land (\neg p \lor q)) & \to q \end{aligned}

$\begin{align} ((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q)) & → (q ∨ q) \\ ((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q)) & → q \\ \end{align}$

이번에는 $r = F$ 인 경우를 생각해 보자.

\begin{array}{l} p \lor q \\ \neg p \lor F \\ ∴ q \lor F \end{array}

$\begin{array}{l} p \lor q \\ \lnot p \lor F \\ \hline \therefore q \lor F \\ \end{array}$

\begin{aligned} ((p \lor q) \land (\neg p \lor F)) & \to (q \lor F) \\ ((p \lor q) \land \neg p) & \to q \end{aligned}

$\begin{align} ((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ F)) & → (q ∨ F) \\ ((p ∨ q) ∧ ¬p) & → q \\ \end{align}$

오류 Fallacies

결론 단언의 오류

fallacy of affirming the conclusion

$((p → q) ∧ q) → p$ 형태의 오류. p 가 거짓이고 q 가 참일 때 거짓이 된다.

"(p 이면 q 인데… q 이니까) p 겠지?"
"(강아지는 동물인데… 얘는 동물이니까) 강아지겠지?"

가정 부정의 오류

fallacy of denying the hypothesis

$((p → q) ∧ ¬p) → ¬q$ 형태의 오류. p 가 거짓이고 q 가 참일 때 거짓이 된다.

"(p 이면 q 인데… p 가 아니니까) q 가 아니겠지?"
"(강아지는 동물인데… 얘는 강아지가 아니니까) 동물이 아니겠지?"

한정 기호의 사용

전칭 예시화

Universal instantiation (UI)

\begin{array}{l} \forall x P (x) \\ ∴ P (c) \end{array}

$\begin{array}{l} ∀x P(x) \\ \hline ∴ P(c) \\ \end{array}$

모든 x 에 대하여 P(x) 가 참이면, P(c) 는 참이다.

전칭 일반화

Universal generalization

\begin{array}{l} P (c) for an arbitrary c \\ ∴ \forall x P (x) \end{array}

$\begin{array}{l} P(c) \text{ for an arbitrary } c \\ \hline \therefore \forall x P(x) \\ \end{array}$

임의의 c 에 대하여 P(c) 가 참이면, 모든 x 에 대해 P(x) 는 참이다.
- 임의의 c 에 대하여 : 정의역에 속하는 모든 원소를 모두 대입한다 할 지라도

존재 예시화

Existential instantiation

\begin{array}{l} \exists x P (x) \\ ∴ P (c) for some element c \end{array}

$\begin{array}{l} \exists x P(x) \\ \hline \therefore P(c) \text{ for some element } c \\ \end{array}$

존재 일반화

Existential generalization

\begin{array}{l} P (c) for some element c \\ ∴ \exists x P (x) \end{array}

$\begin{array}{l} P(c) \text{ for some element } c \\ \hline \therefore \exists x P(x) \\ \end{array}$