함수

• 정의
  • 함수의 개념
  • 정의역, 공역, 치역, 상, 원상, 사상
  • 함수의 합과 곱
  • 정의역의 부분집합의 상
  • 단사 함수
  • 증가 함수, 단조 증가 함수, 감소 함수, 단조 감수 함수
  • 전사 함수
  • 전단사 함수
  • 역함수
  • 합성함수
  • 함수의 그래프
  • 바닥 함수와 천장 함수
  • 부분 함수
• 용어 정리
• 참고문헌

정의

함수의 개념

function

Let A and B be nonempty sets. A function \(f\) from A to B is an assignment of exactly one element of B to each element of A. We write \(f(a) = b\) if b is the unique element of B assigned by the function \(f\) to the element a of A. If \(f\) is a function from A to B, we write \(f : A → B\).

• \(f(a) = b\).
  • A 의 원소 a 가 함수 \(f\)로 인해 대응된 B의 원소가 b.
• A 에서 B 로의 함수 \(f\) 를 \(f : A → B\) 로 표기한다.
• function 을 사상(mappings), 변환(transformations)라 부르기도 한다.

정의역, 공역, 치역, 상, 원상, 사상

domain, codomain, range, image, preimage, map

If \(f\) is a function from A to B, we say that A is the domain of f and B is the codomain of f. If f (a) = b, we say that b is the image of a and a is a preimage of b. The range, or image, of f is the set of all images of elements of A. Also, if f is a function from A to B, we say that f maps A to B.

• 정의역(domain)과 공역(codomain)
  • \(f\) 가 A 에서 B 로의 함수라면 A 를 정의역, B 를 공역이라 한다.
• 상(image)과 원상(preimage)
  • \(f(a) = b\) 이면 b 를 a 의 상, a 를 b 의 원상이라 한다.
  • \(\begin{matrix} f(&a&) & = &b \\ &원상& & &상 \\ \end{matrix}\)  
• \(f\)의 치역(range)은 A의 원소에 대응되는 모든 상(image)의 집합이다.
• \(f\)가 A 에서 B 로의 함수이면 \(f\)는 A 에서 B 로 사상(map) 한다고 표현한다.
• 두 함수가 같다면 다음 조건을 모두 만족해야 한다.
  • 정의역이 같다.
  • 공역이 같다.
  • 정의역의 원소와 공역의 원소 사이에 같은 사상을 갖는다.

함수의 합과 곱

Let f1 and f2 be functions from A to R. Then \(f_1 + f_2\) and \(f_1 f_2\) are also functions from A to R defined for all \(x ∈ A\) by
\(\begin{align} (f_1 + f_2)(x) & = f_1(x) + f_2(x) \\ (f_1 f_2)(x) & = f_1(x)f_2(x) \\ \end{align}\)

• \(f_1, f_2\)가 A 로부터 R(실수) 로의 함수라면
  • \(f_1 + f_2\)과 \(f_1 f_2\) 도 A 로부터 R 로의 함수이다.

정의역의 부분집합의 상

Let f be a function from A to B and let S be a subset of A. The image of S under the function f is the subset of B that consists of the images of the elements of S. We denote the image of S by f (S), so
\(f(S) = \{t \vert ∃s ∈ S (t = f(s)) \}\)
We also use the shorthand \(\{f (s) \vert s ∈ S\}\) to denote this set.

• \(f\)가 집합 A 에서 B로의 함수라 하자.
• S 가 A의 부분집합이라면, 집합 S의 상(image)은 S의 원소들의 상들로 구성된 B의 부분집합이다.
• S의 상은 \(f(S) = \{ t \vert ∃ s ∈ S( t = f(s) ) \}\) 이다.
  • \(\color{blue}{f(S) = \{ f(s) \vert s ∈ S \}}\) 로도 나타낸다.

식을 풀어서 이해해 보자

\(\color{red}{f(S)} = \{ \color{red}{t} \vert ∃ s ∈ S( t = f(s) ) \}\).

• 집합 \(f(S)\)는 \(t\)들로 이루어진 집합이다.

\(f(S) = \{ t \vert \color{red}{∃ s ∈ S( t = f(s) )} \}\).

• \(t\)의 조건은 이러이러하다. 아래에서 자세히 살펴보자.

\(f(S) = \{ t \vert \color{red}{∃ s ∈ S}( t = f(s) ) \}\).

• \(S\)의 원소 \(s\) 라는 것들이 존재하는데…

\(f(S) = \{ \color{red}{t} \vert ∃ s ∈ S( \color{red}{t = f(s)} ) \}\).

• 앞에서 말한 \(t\)는 사실 \(f(s)\)를 말한다.

지금까지 풀어서 이해한 것을 모으면 다음과 같이 정리할 수 있다.

• \(f(S)\)는 \(f(s)\) 들의 집합인데, \(s\)는 \(S\)의 원소이다.
• 그리고 이 말을 식으로 바꾸면
  • \(\color{blue}{f(S) = \{ f(s) \vert s ∈ S \}}\) 이 된다.

예를 들어 보자

• \(f(x) = x \times 2\) 라는 함수가 있다고 하자.
• 정의역은 \(A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}\) 라고 하자.
• 공역은 \(B = \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 \}\) 라고 하자.
• 정의역의 부분집합 S 가 있다고 하자.
  • 뭐가 좋을까… \(S = \{ 2, 3 \}\) 이라 하자.
  • 그렇다면 S의 상은 \(f(S) = \{ f(2), f(3) \} = \{ 4, 6 \}\) 이다.
  • S의 상은 B의 부분집합이다. 위의 정의는 이것을 말한다.

단사 함수

one-to-one, injective

A function f is said to be one-to-one, or an injunction, if and only if \(f (a) = f (b)\) implies that \(a = b\) for all a and b in the domain of f. A function is said to be injective if it is one-to-one.

• 함수 \(f\)의 정의역의 모든 원소에 대하여 \(f(a) = f(b)\) 이면 반드시 \(a = b\)일 때, \(f\) 를 단사함수라 한다.

예를 들어 보자

• \(f(x) = x + 1\) 은 단사 함수인가?
  • 정의역의 모든 원소에 대해 리턴값(상)이 모두 다르므로 단사 함수이다.
• \(f(x) = x^2\) 은 단사 함수인가?
  • \(f(1) = 1\) 이고, \(f(-1) = 1\) 이므로 단사 함수가 아니다.

증가 함수, 단조 증가 함수, 감소 함수, 단조 감수 함수

increasing function, strictly increasing function, decreasing function, strictly decreasing function

A function \(f\) whose domain and codomain are subsets of the set of real numbers is called increasing if \(f (x) ≤ f (y)\), and strictly increasing if \(f (x) < f (y)\), whenever \(x < y\) and \(x\) and \(y\) are in the domain of \(f\). Similarly, \(f\) is called decreasing if \(f (x) ≥ f (y)\), and strictly decreasing if \(f(x) > f(y)\), whenever \(x < y\) and \(x\) and \(y\) are in the domain of \(f\). (The word strictly in this definition indicates a strict inequality.)

전사 함수

onto, surjection

A function \(f\) from A to B is called onto, or a surjection, if and only if for every element \(b ∈ B\) there is an element \(a ∈ A\) with \(f(a) = b\). A function f is called surjective if it is onto.

• 공역과 치역이 같은 함수.

전단사 함수

one-to-one correspondence, 일대일대응

The function f is a one-to-one correspondence, or a bijection, if it is both one-to-one and onto. We also say that such a function is bijective.

• 단사 함수이면서 전사 함수인 함수를 전단사 함수라고 한다.
  • 일대일 대응이라고도 한다.

역함수

inverse function

Let \(f\) be a one-to-one correspondence from the set A to the set B. The inverse function of \(f\) is the function that assigns to an element b belonging to B the unique element a in A such that \(f (a) = b\). The inverse function of f is denoted by \(f^{−1}\). Hence, \(f^{−1}(b) = a\) when \(f(a) = b\).

• \(f(a) = b\) 의 역함수는 \(f^{-1}(b) = a\).
• 전단사 함수는 역함수를 만들 수 있으므로 가역 함수(invertible function)이다.
• 전단사 함수가 아닌 함수는 역함수를 만들 수 없으므로 비가역 함수(not invertible function)이다.

합성함수

composition of functions

Let \(g\) be a function from the set A to the set B and let \(f\) be a function from the set B to the set C. The composition of the functions \(f\) and \(g\), denoted for all \(a ∈ A\) by \(f ◦ g\), is defined by
\((f ◦ g)(a) = f (g(a))\)

• 함수 f와 g의 합성함수는 \(f \circ g\) 로 표기한다.
• \((f ◦ g)(a) = f (g(a))\).

함수의 그래프

Let \(f\) be a function from the set A to the set B. The graph of the function \(f\) is the set of ordered pairs \(\{(a,b) \vert a ∈ A \ and \ f(a) = b \}\).

• 함수 \(f\)의 그래프는 \(\{(a,b) \vert a ∈ A \ and \ f(a) = b \}\)인 순서쌍의 집합이다.

바닥 함수와 천장 함수

floor function, ceiling function

The floor function assigns to the real number x the largest integer that is less than or equal to x. The value of the floor function at x is denoted by \(⌊x⌋\). The ceiling function assigns to the real number x the smallest integer that is greater than or equal to x. The value of the ceiling function at x is denoted by \(⌈x⌉\).

• 바닥 함수 \(⌊x⌋\)는 내림이다.
• 천장 함수 \(⌈x⌉\)는 올림이다.

바닥/천장 함수의 특징(x는 실수, n은 정수)

부분 함수

partial functions

A partial function \(f\) from a set A to a set B is an assignment to each element a in a subset of A, called the domain of definition of \(f\), of a unique element b in B. The sets A and B are called the domain and codomain of \(f\), respectively. We say that \(f\) is undefined for elements in A that are not in the domain of definition of \(f\). When the domain of definition of \(f\) equals A, we say that \(f\) is a total function.

• 정의된 정의역의 각 원소를 공역의 각 원소에 대응시키는 함수.
• 정의된 정의역(domain of definition): 정의역의 부분집합.
  • 정의된 정의역에 속하지 않는 원소에 대해서는 undefined 라 한다.
• 부분 함수는 다른 함수와 동일하게 표기하며, 부분함수인지는 문맥을 보고 파악해야 한다.
• 부분함수의 정의역이 원래의 정의역과 같을 때, 그 함수를 전체 함수(total function)라 한다.

용어 정리

참고문헌

• Rosen의 이산수학 / Kenneth H. Rosen 저 / 공은배 등저 / 한국맥그로힐(McGraw-Hill KOREA) / 2017년 01월 06일