함수 - 기계인간 John Grib

정의
용어 정리
참고문헌

정의

함수의 개념

function

Let A and B be nonempty sets. A function $f$ from A to B is an assignment of exactly one element of B to each element of A. We write $f(a) = b$ if b is the unique element of B assigned by the function $f$ to the element a of A. If $f$ is a function from A to B, we write $f : A → B$ .

f(a)=b $f (a) = b$ .
- A 의 원소 a 가 함수 $f$ 로 인해 대응된 B의 원소가 b.
A 에서 B 로의 함수 $f$ 를 $f : A → B$ 로 표기한다.
function 을 사상(mappings), 변환(transformations)라 부르기도 한다.

정의역, 공역, 치역, 상, 원상, 사상

domain, codomain, range, image, preimage, map

If $f$ is a function from A to B, we say that A is the domain of f and B is the codomain of f. If f (a) = b, we say that b is the image of a and a is a preimage of b. The range, or image, of f is the set of all images of elements of A. Also, if f is a function from A to B, we say that f maps A to B.

정의역(domain)과 공역(codomain)
- $f$ 가 A 에서 B 로의 함수라면 A 를 정의역, B 를 공역이라 한다.
상(image)과 원상(preimage)
- $f(a) = b$ 이면 b 를 a 의 상, a 를 b 의 원상이라 한다.
- $\begin{matrix} f(&a&) & = &b \\ &원상& & &상 \\ \end{matrix}$
$f$ 의 치역(range)은 A의 원소에 대응되는 모든 상(image)의 집합이다.
$f$ 가 A 에서 B 로의 함수이면 $f$ 는 A 에서 B 로 사상(map) 한다고 표현한다.
두 함수가 같다면 다음 조건을 모두 만족해야 한다.
- 정의역이 같다.
- 공역이 같다.
- 정의역의 원소와 공역의 원소 사이에 같은 사상을 갖는다.

함수의 합과 곱

Let f1 and f2 be functions from A to R. Then $f_1 + f_2$ and $f_1 f_2$ are also functions from A to R defined for all $x ∈ A$ by
$\begin{align} (f_1 + f_2)(x) & = f_1(x) + f_2(x) \\ (f_1 f_2)(x) & = f_1(x)f_2(x) \\ \end{align}$

f1,f2가 A 로부터 R(실수) 로의 함수라면
- $f_1 + f_2$ 과 $f_1 f_2$ 도 A 로부터 R 로의 함수이다.

정의역의 부분집합의 상

Let f be a function from A to B and let S be a subset of A. The image of S under the function f is the subset of B that consists of the images of the elements of S. We denote the image of S by f (S), so
$f(S) = \{t \vert ∃s ∈ S (t = f(s)) \}$
We also use the shorthand $\{f (s) \vert s ∈ S\}$ to denote this set.

$f$ 가 집합 A 에서 B로의 함수라 하자.
S 가 A의 부분집합이라면, 집합 S의 상(image)은 S의 원소들의 상들로 구성된 B의 부분집합이다.
S의 상은 f(S)={t|∃s∈S(t=f(s))} 이다.
- $\color{blue}{f(S) = \{ f(s) \vert s ∈ S \}}$ 로도 나타낸다.

식을 풀어서 이해해 보자

$\color{red}{f(S)} = \{ \color{red}{t} \vert ∃ s ∈ S( t = f(s) ) \}$ .

집합 $f(S)$ 는 $t$ 들로 이루어진 집합이다.

$f(S) = \{ t \vert \color{red}{∃ s ∈ S( t = f(s) )} \}$ .

$t$ 의 조건은 이러이러하다. 아래에서 자세히 살펴보자.

$f(S) = \{ t \vert \color{red}{∃ s ∈ S}( t = f(s) ) \}$ .

$S$ 의 원소 $s$ 라는 것들이 존재하는데…

$f(S) = \{ \color{red}{t} \vert ∃ s ∈ S( \color{red}{t = f(s)} ) \}$ .

앞에서 말한 $t$ 는 사실 $f(s)$ 를 말한다.

지금까지 풀어서 이해한 것을 모으면 다음과 같이 정리할 수 있다.

$f(S)$ 는 $f(s)$ 들의 집합인데, $s$ 는 $S$ 의 원소이다.
그리고 이 말을 식으로 바꾸면
- $\color{blue}{f(S) = \{ f(s) \vert s ∈ S \}}$ 이 된다.

예를 들어 보자

$f(x) = x \times 2$ 라는 함수가 있다고 하자.
정의역은 $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ 라고 하자.
공역은 $B = \{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 \}$ 라고 하자.
정의역의 부분집합 S 가 있다고 하자.
- 뭐가 좋을까… $S = \{ 2, 3 \}$ 이라 하자.
- 그렇다면 S의 상은 $f(S) = \{ f(2), f(3) \} = \{ 4, 6 \}$ 이다.
- S의 상은 B의 부분집합이다. 위의 정의는 이것을 말한다.

단사 함수

one-to-one, injective

A function f is said to be one-to-one, or an injunction, if and only if $f (a) = f (b)$ implies that $a = b$ for all a and b in the domain of f. A function is said to be injective if it is one-to-one.

함수 $f$ 의 정의역의 모든 원소에 대하여 $f(a) = f(b)$ 이면 반드시 $a = b$ 일 때, $f$ 를 단사함수라 한다.

예를 들어 보자

f(x)=x+1 은 단사 함수인가?
- 정의역의 모든 원소에 대해 리턴값(상)이 모두 다르므로 단사 함수이다.
f(x)=x2 은 단사 함수인가?
- $f(1) = 1$ 이고, $f(-1) = 1$ 이므로 단사 함수가 아니다.

증가 함수, 단조 증가 함수, 감소 함수, 단조 감수 함수

increasing function, strictly increasing function, decreasing function, strictly decreasing function

A function $f$ whose domain and codomain are subsets of the set of real numbers is called increasing if $f (x) ≤ f (y)$ , and strictly increasing if $f (x) < f (y)$ , whenever $x < y$ and $x$ and $y$ are in the domain of $f$ . Similarly, $f$ is called decreasing if $f (x) ≥ f (y)$ , and strictly decreasing if $f(x) > f(y)$ , whenever $x < y$ and $x$ and $y$ are in the domain of $f$ . (The word strictly in this definition indicates a strict inequality.)

증가 함수	$a_1 < a_2$ 이면 $f(a_1) \color{red}\le f(a_2)$ 인 함수.
단조 증가 함수	$a_1 < a_2$ 이면 $f(a_1) \color{red}\lt f(a_2)$ 인 함수.
감소 함수	$a_1 < a_2$ 이면 $f(a_1) \color{red}\ge f(a_2)$ 인 함수.
단조 감소 함수	$a_1 < a_2$ 이면 $f(a_1) \color{red}\gt f(a_2)$ 인 함수.

전사 함수

onto, surjection

A function $f$ from A to B is called onto, or a surjection, if and only if for every element $b ∈ B$ there is an element $a ∈ A$ with $f(a) = b$ . A function f is called surjective if it is onto.

공역과 치역이 같은 함수.

전단사 함수

one-to-one correspondence, 일대일대응

The function f is a one-to-one correspondence, or a bijection, if it is both one-to-one and onto. We also say that such a function is bijective.

단사 함수이면서 전사 함수인 함수를 전단사 함수라고 한다.
- 일대일 대응이라고도 한다.

역함수

inverse function

Let $f$ be a one-to-one correspondence from the set A to the set B. The inverse function of $f$ is the function that assigns to an element b belonging to B the unique element a in A such that $f (a) = b$ . The inverse function of f is denoted by $f^{−1}$ . Hence, $f^{−1}(b) = a$ when $f(a) = b$ .

$f(a) = b$ 의 역함수는 $f^{-1}(b) = a$ .
전단사 함수는 역함수를 만들 수 있으므로 가역 함수(invertible function)이다.
전단사 함수가 아닌 함수는 역함수를 만들 수 없으므로 비가역 함수(not invertible function)이다.

합성함수

composition of functions

Let $g$ be a function from the set A to the set B and let $f$ be a function from the set B to the set C. The composition of the functions $f$ and $g$ , denoted for all $a ∈ A$ by $f ◦ g$ , is defined by
$(f ◦ g)(a) = f (g(a))$

함수 f와 g의 합성함수는 $f \circ g$ 로 표기한다.
$(f ◦ g)(a) = f (g(a))$ .

함수의 그래프

Let $f$ be a function from the set A to the set B. The graph of the function $f$ is the set of ordered pairs $\{(a,b) \vert a ∈ A \ and \ f(a) = b \}$ .

함수 $f$ 의 그래프는 $\{(a,b) \vert a ∈ A \ and \ f(a) = b \}$ 인 순서쌍의 집합이다.

바닥 함수와 천장 함수

floor function, ceiling function

The floor function assigns to the real number x the largest integer that is less than or equal to x. The value of the floor function at x is denoted by $⌊x⌋$ . The ceiling function assigns to the real number x the smallest integer that is greater than or equal to x. The value of the ceiling function at x is denoted by $⌈x⌉$ .

바닥 함수 $⌊x⌋$ 는 내림이다.
천장 함수 $⌈x⌉$ 는 올림이다.

바닥/천장 함수의 특징(x는 실수, n은 정수)

$⌊x⌋ = n \ ↔ \ n ≤ x < n + 1$

$⌈x⌉ = n \ ↔ \ n - 1 < x ≤ n$

$⌊x⌋ = n \ ↔ \ x - 1 < n ≤ x$

$⌈x⌉ = n \ ↔ \ x ≤ n < x + 1$

$x - 1 < ⌊x⌋ ≤ x ≤ ⌈x⌉ < x + 1$

$⌊-x⌋ = -⌈x⌉$

$⌈-x⌉ = -⌊x⌋$

$⌊x+n⌋ = ⌊x⌋ + n$

$⌈x+n⌉ = ⌈x⌉ + n$

부분 함수

partial functions

A partial function $f$ from a set A to a set B is an assignment to each element a in a subset of A, called the domain of definition of $f$ , of a unique element b in B. The sets A and B are called the domain and codomain of $f$ , respectively. We say that $f$ is undefined for elements in A that are not in the domain of definition of $f$ . When the domain of definition of $f$ equals A, we say that $f$ is a total function.

정의된 정의역의 각 원소를 공역의 각 원소에 대응시키는 함수.
정의된 정의역(domain of definition): 정의역의 부분집합.
- 정의된 정의역에 속하지 않는 원소에 대해서는 undefined 라 한다.
부분 함수는 다른 함수와 동일하게 표기하며, 부분함수인지는 문맥을 보고 파악해야 한다.
부분함수의 정의역이 원래의 정의역과 같을 때, 그 함수를 전체 함수(total function)라 한다.

용어 정리

English	한국어	예/설명
function	함수	$f(a) = b$
map	사상(=함수)	f는 A에서 B로 사상한다.
transformations	변환(=함수)	f는 A를 B로 변환한다.
domain	정의역	A는 정의역이다.
codomain	공역	B는 공역이다.
range	치역	치역은 $f(a)$ 의 집합이다.
image	상	b는 a의 상이다.
preimage	원상	a는 b의 원상이다.
real-valued function	실수 함수	공역이 실수의 집합인 함수
integer-valued function	정수 함수	공역이 정수의 집합인 함수
one-to-one function	단사함수	입력이 다르면 리턴값도 다른 함수
injunction	단사함수
increasing function	증가함수	$a_1 < a_2$ 이면 $f(a_1) \le f(a_2)$ 인 함수
strictly increasing function	단조 증가 함수	$a_1 < a_2$ 이면 $f(a_1) \lt f(a_2)$ 인 함수
decreasing function	감소함수	$a_1 < a_2$ 이면 $f(a_1) \ge f(a_2)$ 인 함수
strictly decreasing function	단조 감소함수	$a_1 < a_2$ 이면 $f(a_1) \gt f(a_2)$ 인 함수
onto function	전사 함수	공역과 치역이 같은 함수
surjection	전사 함수
one-to-one correspondence function	전단사 함수	일대일 대응 함수. 전사 함수이면서 단사 함수인 함수.
inverse function	역함수	$f(a) = b$ 의 역함수는 $f^{-1}(b) = a$
invertible function	가역 함수	역함수를 만들 수 있는 함수(전단사 함수)
not invertible function	비가역 함수	역함수를 만들 수 없는 함수
composition of functions	합성함수	$f \circ g$
floor function	바닥 함수	내림
ceiling function	천장 함수	올림
total function	전체 함수
partial function	부분 함수	전체 함수의 정의역의 부분집합을 정의역으로 삼는 함수
domain of definition	정의된 정의역	부분 함수의 정의역

참고문헌

Rosen의 이산수학 / Kenneth H. Rosen 저 / 공은배 등저 / 한국맥그로힐(McGraw-Hill KOREA) / 2017년 01월 06일