TeX 에서 사용하기

TeX에서 \sum으로 쓴다.

\[\sum\]

아래에 뭔가 붙이려면 _을 쓰면 된다.

  • \sum_{ a }, \sum_b
\[\sum_{ a } \quad \sum_b\]

위에 뭔가 붙이려면 ^을 쓰면 된다.

  • \sum_{k=1}^{n} a_k
\[\sum_{k=1}^{n} a_k\]

시그마 표기

\(\sum_{k=1}^{n} a_k\) 는 \(a_1\) 부터 \(a_n\) 까지의 합을 의미한다.

\[\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + ... + a_n\]

코드로 보자면 단순히 합계를 구하는 루프이다.

def sum(n, a):
    """ 리스트 a의 1번째 원소부터 n번째 원소까지의 합을 구한다 """
    sum = 0
    for k in range(1, n+1):
        sum += a[k]
    return sum

 # list a 가 다음과 같다면
a = [0, 2, 4, 8, 10, 12, 14]

 # 1번째 원소부터 3번째 원소까지를 더한 결과
print(sum(3, a))    # 2 + 4 + 8 = 14

일반화된 시그마 표기

  • 합산을 진행할 색인들의 집합을 규정하는 조건을 \(\sum\) 아래쪽에 명시해준다.(오른쪽 식)
\[\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_\color{red}{1 \le k \le n} a_k\]
  • 예: 100 미만의 모든 홀수의 제곱의 합
    • 색인이 \(1 \le k \le n \; \text{ AND k는 홀수 }\)이므로 \(k\)는 [1, 3, 5, 7, ... n] 이다.
\[\sum_{\substack{1 \le k \lt 100 \\ \text{k는 홀수}}} k^2\]

1부터 100까지의 모든 홀수의 제곱의 합을 구하는 것이므로, 심플하게 다음과 같이 생각해도 된다.

def sigma():
    """ 100 이하 모든 홀수의 제곱의 합 """
    sum = 0
    for k in range(1, 100, 2):
        sum += k**2
    return sum

print(sigma())  # 결과는 166650

한계 명시 시그마 표기

  • 한계 명시 표기법은 \(\sum\) 위쪽에 한계를 명시한다.
  • 조제프 푸리에(Joseph Fourier)가 1820년에 도입한 표기법.
\[\sum_{k = 0}^\color{red}{49} (2k + 1)^2\] 
def sigma():
    sum = 0
    for k in range(0, 49 + 1):
        sum += (2*k + 1)**2
    return sum

print(sigma())  # 결과는 166650
  • 결과가 166650으로 위의 코드 실행 결과와 똑같다.
    • 잘 살펴보면 두 식이 똑같다는 것을 알 수 있다.
    • 2k + 1에 k 값으로 0 ~ 49를 넣어 보면 1, 3, 5, ... 99 이다.

함께 읽기

  • [[/book/concrete-math]]

참고 문헌

  • CONCRETE MATHEMATICS 구체 수학 / 로널드 L. 그레이엄, 도널드 E. 커누스, 오렌 파타슈닉 저/류광 역 / 인사이트(insight) / 초판 1쇄 2018년 04월 20일