문제 소개

Quora에 다음과 같은 질문이 올라왔다.

What is \(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\) ?

쭉 읽어보면 대부분의 사람들이 계산해보면 \(e^{-1}\) 가 나온다고 답변을 달아놨다.

답은 \({1 \over e}\)

사실 이건 조금만 생각해봐도 알 수 있는데, \(e\)의 정의가 다음과 같기 때문이다.

\[\begin{align} e & = \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \\ & = \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \\ \end{align}\]

분모 분자를 뒤집어 주면 이런 모양이 된다.

\[\frac{1}{e} = \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n}{n+1} \right)^n\]

이제 \(m = n + 1\) 이라 하고 다음과 같이 치환해 보자.

\[\frac{1}{e} = \lim_{ m \to \infty } \left( \frac{m-1}{m} \right)^{m-1}\]

더 따져볼 것도 없을 것 같지만, 기계적인 과정도 살펴보자면 다음과 같이 할 수 있을 것이다.

\[\begin{align} \frac{1}{e} & = \lim_{ m \to \infty } \left( \frac{m-1}{m} \right)^{m-1} \\ & = \lim_{ m \to \infty } \left( \frac{m-1}{m} \right)^{m} \times \frac{m}{m-1} \\ & = \lim_{ m \to \infty } \left( \frac{m-1}{m} \right)^{m} \times \frac{m \over m}{ {m \over m }-{1 \over m}} \\ & = \lim_{ m \to \infty } \left( \frac{m-1}{m} \right)^{m} \times 1 \\ \end{align}\]

이제 질문의 식을 다시 살펴보면 \(\frac{1}{e}\) 이라는 것을 어렵지 않게 알 수 있다.

\[\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n & = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{n-1}{n} \right)^n \\ \end{align}\]

WolframAlpah에 검색해보면 역시 \(e^{-1}\) 가 나온다.

그리고 \(e^{-1}\)의 값은 대략 0.367879 이다.

당첨 제비의 비유로 설명해보자

내가 \(n\) 개의 제비 중 1개의 당첨 제비를 노리고 있다 하자. 제비는 뽑고 나서 버리지 않고 다시 상자로 집어넣는다.

매 번 뽑을 때마다 당첨 제비를 뽑을 확률은 \(\frac{1}{n}\)이며, 당첨되지 않을 확률은 \(\frac{n-1}{n}\)이 된다.

그렇다면 \(n\)개의 제비를 \(n\)번 뽑을 때 당첨 제비를 뽑지 못하게 될 확률은 얼마나 될까?

  • \(n = 1\) 인 경우: \(\left(\frac{1-1}{1}\right)^1\) 이므로 \(0\) 이다.
  • \(n = 2\) 인 경우: \(\left(\frac{2-1}{2}\right)^2 = (\frac{1}{2})^2\) 이므로 \(\frac{1}{4}\) 이다. 25% 라고 할 수 있다.
  • \(n = 3\) 인 경우: \(\left(\frac{3-1}{3}\right)^3 = (\frac{2}{3})^3\) 이므로 \(\frac{8}{27}\) 이다. 약 29.63% 라고 할 수 있다.

…

  • \(n\to\infty\) 인 경우: \(\frac{1}{e}\) 이다. 약 36.79%라고 할 수 있다.

영원히 제비를 뽑고 있어도 단 한 번도 당첨되지 않을 확률이 36.79%인 셈이다.

보통 10 개 중에 당첨 제비가 하나 있다면 10번 뽑으면 대체로 당첨 제비를 뽑을 거라는 기대를 한다.

  • 제비의 수가 무한히 많고 똑같은 만큼 무한히 제비를 뽑는다면 아래와 같이 생각할 수 있을 것이다.
    • 당첨 제비를 뽑지 못할 확률이 36.79% 정도
    • 당첨 제비를 적어도 한 번 뽑을 확률이 63.21% 정도

대체로가 50% 이상을 의미한다고 가정해 보면 대체로 뽑을 거라는 기대는 어느 정도 들어맞는다고 할 수 있다.

그러나 거의 확실하게 뽑게 된다라는 믿음을 갖고 있다면 실망하게 될 가능성이 크다.

근사값 자료

순전히 흥미로 다음 값들을 울프람 알파에서 검색해 보았다.

n \(\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\) 근사값 Link
1 0 \(1\) Link
2 \(1 \over 4\) \(0.25\) Link
3 \(8 \over 27\) \(0.296296296...\) Link
4 \(81 \over 256\) \(0.31640625\) Link
5 \(1024 \over 3125\) \(0.32768\) Link
6 \(15625 \over 46656\) \(0.334897976...\) Link
7 \(279936 \over 823543\) \(0.339916677...\) Link
8 \(5764801 \over 16777216\) \(0.343608915805816650390625\) Link
9 \(134217728 \over 387420489\) \(0.346439416...\) Link
10 \(3486784401 \over 10^{10}\) \(0.3486784401\) Link
∞ \(1 \over e\) \(0.367879441...\) Link

n = 100 인 경우는 다음과 같다. 숫자가 너무 길어서 80 글자씩 잘랐다.

36603234127322950493061602657251738618971207663892369140595737269931704475072474
81871965435100269504006615691006528432747182356968017994158571053544917075742738
9035006098270837114978219916760849490001
/
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000

물론 이 값은 약 \(0.36603234127...\) 이다.

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