문제 소개

Quora에 다음과 같은 질문이 올라왔다.

What is limn→∞(1−1n)nlimn→∞(1−1n)n ?

쭉 읽어보면 대부분의 사람들이 계산해보면 e−1e−1 가 나온다고 답변을 달아놨다.

답은 1e1e

사실 이건 조금만 생각해봐도 알 수 있는데, ee의 정의가 다음과 같기 때문이다.

e=limn→∞(1+1n)n=limn→∞(n+1n)ne=limn→∞(1+1n)n=limn→∞(n+1n)n

분모 분자를 뒤집어 주면 이런 모양이 된다.

1e=limn→∞(nn+1)n1e=limn→∞(nn+1)n

이제 m=n+1m=n+1 이라 하고 다음과 같이 치환해 보자.

1e=limm→∞(m−1m)m−11e=limm→∞(m−1m)m−1

더 따져볼 것도 없을 것 같지만, 기계적인 과정도 살펴보자면 다음과 같이 할 수 있을 것이다.

1e=limm→∞(m−1m)m−1=limm→∞(m−1m)m×mm−1=limm→∞(m−1m)m×mmmm−1m=limm→∞(m−1m)m×11e=limm→∞(m−1m)m−1=limm→∞(m−1m)m×mm−1=limm→∞(m−1m)m×mmmm−1m=limm→∞(m−1m)m×1

이제 질문의 식을 다시 살펴보면 1e1e 이라는 것을 어렵지 않게 알 수 있다.

limn→∞(1−1n)n=limn→∞(n−1n)nlimn→∞(1−1n)n=limn→∞(n−1n)n

WolframAlpah에 검색해보면 역시 e−1e−1 가 나온다.

그리고 e−1e−1의 값은 대략 0.367879 이다.

당첨 제비의 비유로 설명해보자

내가 nn 개의 제비 중 1개의 당첨 제비를 노리고 있다 하자. 제비는 뽑고 나서 버리지 않고 다시 상자로 집어넣는다.

매 번 뽑을 때마다 당첨 제비를 뽑을 확률은 1n1n이며, 당첨되지 않을 확률은 n−1nn−1n이 된다.

그렇다면 nn개의 제비를 nn번 뽑을 때 당첨 제비를 뽑지 못하게 될 확률은 얼마나 될까?

  • n=1n=1 인 경우: (1−11)1(1−11)1 이므로 00 이다.
  • n=2n=2 인 경우: (2−12)2=(12)2(2−12)2=(12)2 이므로 1414 이다. 25% 라고 할 수 있다.
  • n=3n=3 인 경우: (3−13)3=(23)3(3−13)3=(23)3 이므로 827827 이다. 약 29.63% 라고 할 수 있다.

…

  • n→∞n→∞ 인 경우: 1e1e 이다. 약 36.79%라고 할 수 있다.

영원히 제비를 뽑고 있어도 단 한 번도 당첨되지 않을 확률이 36.79%인 셈이다.

보통 10 개 중에 당첨 제비가 하나 있다면 10번 뽑으면 대체로 당첨 제비를 뽑을 거라는 기대를 한다.

  • 제비의 수가 무한히 많고 똑같은 만큼 무한히 제비를 뽑는다면 아래와 같이 생각할 수 있을 것이다.
    • 당첨 제비를 뽑지 못할 확률이 36.79% 정도
    • 당첨 제비를 적어도 한 번 뽑을 확률이 63.21% 정도

대체로가 50% 이상을 의미한다고 가정해 보면 대체로 뽑을 거라는 기대는 어느 정도 들어맞는다고 할 수 있다.

그러나 거의 확실하게 뽑게 된다라는 믿음을 갖고 있다면 실망하게 될 가능성이 크다.

근사값 자료

순전히 흥미로 다음 값들을 울프람 알파에서 검색해 보았다.

n (1−1n)n(1−1n)n 근사값 Link
1 0 11 Link
2 1414 0.250.25 Link
3 827827 0.296296296...0.296296296... Link
4 8125681256 0.316406250.31640625 Link
5 1024312510243125 0.327680.32768 Link
6 15625466561562546656 0.334897976...0.334897976... Link
7 279936823543279936823543 0.339916677...0.339916677... Link
8 576480116777216576480116777216 0.3436089158058166503906250.343608915805816650390625 Link
9 134217728387420489134217728387420489 0.346439416...0.346439416... Link
10 3486784401101034867844011010 0.34867844010.3486784401 Link
∞ 1e1e 0.367879441...0.367879441... Link

n = 100 인 경우는 다음과 같다. 숫자가 너무 길어서 80 글자씩 잘랐다.

36603234127322950493061602657251738618971207663892369140595737269931704475072474
81871965435100269504006615691006528432747182356968017994158571053544917075742738
9035006098270837114978219916760849490001
/
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000

물론 이 값은 약 0.36603234127...0.36603234127... 이다.

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