구체수학 02.합.07.무한합

무한합 주의점
- 예: 통하는 경우
$\sum_{k \in K} a_k$ 를 정의하자
- 응용
음수가 있는 경우
무한합의 일반 정의
- 절대수렴(converge absolutely)과 발산(diverge)
복소수의 경우로 확장
나쁜 소식에 대하여
- 다중합의 근본 원리
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이 문서는 (책) CONCRETE MATHEMATICS(구체수학) 2장.합 - 7.무한합을 공부한 노트입니다.

무한합 주의점

지금까지 배운 것은 "유한합(finite sum)"이었다.
- 지금까지 배운 $\sum$ 조작 방법들 중, 무한합에 통하지 않는 것들이 있다.
- 어떤 경우에 어떤 것이 통하는지를 배워야 한다.

예: 통하는 경우

다음과 같이 S의 값이 2라고 하는 것은 통한다. (수렴하기 때문인 것 같다)

\begin{matrix} S & = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + . . . = 2 \end{matrix}

$\begin{align} S & = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... \\ & = 2 \\ \end{align}$

왜냐하면 다음과 같기 때문이다.

\begin{matrix} 2 S & = 2 (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + . . .) = 2 + \frac{2}{2} + \frac{2}{4} + \frac{2}{8} + . . . = 2 + (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . .) = 2 + S 2 S - S & = 2 S & = 2 \end{matrix}

$\begin{align} 2S & = 2 \biggr(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... \biggr) \\ & = 2 + \frac{2}{2} + \frac{2}{4} + \frac{2}{8} + ... \\ & = 2 + \biggr(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... \biggr)\\ & = 2 + S \\ 2S -S & = 2 \\ S & = 2 \\ \end{align}$

그러나 다음과 같은 경우에는 모순이 발생하여 통하지 않는다는 것을 알 수 있다. (발산하기 때문인 것 같다)

\begin{matrix} T & = 1 + 2 + 4 + 8 + . . . 2 T & = 2 + 4 + 8 + 16 + . . . 2 T & = - 1 + 1 + (2 + 4 + 8 + . . .) 2 T & = - 1 + (1 + 2 + 4 + 8 + . . .) 2 T & = - 1 + T T & = - 1 - 1 & = 1 + 2 + 4 + 8 + . . . 모 순 발 생 \end{matrix}

$\begin{align} T & = 1 + 2 + 4 + 8 + ... \\ 2T & = 2 + 4 + 8 + 16 + ... \\ 2T & = -1 + 1 + (2 + 4 + 8 + ...) \\ 2T & = -1 + (1 + 2 + 4 + 8 + ...) \\ 2T & = -1 + T \\ T & = -1 \\ -1 & = 1 + 2 + 4 + 8 + ... 모순 발생\\ \end{align}$

$\sum_{k \in K} a_k$ 를 정의하자

집합 K는 음이 아닌 정수의 집합이다.
집합 K는 무한 집합일 수도 있다.
일반 합 $\sum_{k \in K} a_k$ 를 어떻게 안전하게 정의할 수 있을까?

$a_k \ge 0$ 이라 생각하자. 그렇다면 가능한 경우는 두 가지다.

집합 K의 유한 부분집합 F에 대해,

∑k∈Fak≤A $\sum_{k \in F} a_{k} \leq A$
- 합의 결과가 A의 최소값으로 나온다.
  - 이런 A를 경계상수라 부르자.
∑k∈Kak=∞ $\sum_{k \in K} a_{k} = \infty$
- 합의 결과로, 경계상수 A가 없다면 합의 결과는 $\infty$ 일 것이다.
- 즉, 합의 결과는 결계상수 A이거나 무한대이다.

일단 집합 K가 음이 아닌 정수들의 집합이라면 다음과 같이 생각할 수 있다.

\sum k \geq 0 a_{k} = lim n \to \infty n \sum k = 0 a_{k}

$\sum_{k \ge 0} a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n a_k$

응용

$a_k = x^k$ 를 풀어보자

$a_k = x^k$ 이라면 다음과 같다.

\sum k \geq 0 x^{k} = lim n \to \infty \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x} = {\begin{matrix} \frac{1}{1 - x}, & i f 0 \leq x < 1 \infty, & i f x \geq 1 \end{matrix}

$\sum_{k \ge 0} x^k = \lim_{n \to \infty} \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = \begin{cases} \frac{1}{1-x}, & if \; 0 \le x \lt 1 \\ \infty, & if \; x \ge 1 \\ \end{cases}$

만약 x가 0보다 크고 1보다 작은 수라면 결과는 $\frac{1}{1-x}$ 이 된다.
만약 x가 1보다 크거나 같다면 결과는 무한대가 된다.

S 를 풀어보자

위에서 풀어 보았던 S의 값을 이 방법으로 검증해 보자.

\begin{matrix} S & = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + . . . = 2 \end{matrix}

$\begin{align} S & = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... \\ & = 2 \\ \end{align}$

\begin{matrix} \sum k \geq 0 {(\frac{1}{2})}^{k} & = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \end{matrix}

$\begin{align} \sum_{k \ge 0} \left(\frac{1}{2}\right)^k & = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\ & = 2 \\ \end{align}$

오오. 아주 쉽게 2가 맞다는 것을 검증할 수 있었다.

T 를 풀어보자

그렇다면 이번에는 위에서 풀지 못했던 T를 풀어 보자.

T = 1 + 2 + 4 + 8 + . . .

$T = 1 + 2 + 4 + 8 + ...$

모양을 보면 대충 식이 다음과 같이 될 것 같다.

\sum k \geq 0 2^{k}

$\sum_{k \ge 0} 2^k$

여기에서 x값이 1 이상이므로 $T = \infty$ 가 된다.

내림제곱이 있는 형태를 풀어보자

\begin{matrix} \sum k \geq 0 \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} & = \sum k \geq 0 k^{- 2 - - -} = lim n \to \infty n - 1 \sum k = 0 k^{- 2 - - -} = lim n \to \infty \frac{k^{- 1 - - -}}{- 1} {∣ ∣ ∣}_{0}^{n} = - lim n \to \infty k^{- 1 - - -} {∣ ∣ ∣}_{0}^{n} = - lim n \to \infty \frac{1}{k + 1} {∣ ∣ ∣}_{0}^{n} = - (lim n \to \infty \frac{1}{n + 1} - lim n \to \infty \frac{1}{0 + 1}) = - (\frac{1}{\infty + 1} - 1) = - (0 - 1) = 1 \end{matrix}

$\begin{align} \sum_{k \ge 0} \frac{1}{(k+1)(k+2)} & = \sum_{k \ge 0} k^{\underline{-2}} \\ & = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} k^{\underline{-2}} \\ & = \lim_{n \to \infty} \frac{k^{\underline{-1}}}{-1} \biggr\rvert_0^n \\ & = - \lim_{n \to \infty} k^{\underline{-1}} \biggr\rvert_0^n \\ & = - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{k+1} \biggr\rvert_0^n \\ & = - (\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{0+1}) \\ & = - (\frac{1}{\infty + 1} - 1) \\ & = - (0 - 1) \\ & = 1 \\ \end{align}$

음수가 있는 경우

음수가 있는 경우에는 어떻게 해야 할지 알아보자.

\begin{matrix} \sum k \geq 0 (- 1)^{k} & = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + . . . = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + . . . & = 1 = (1 - 1) + (1 - 1) + . . . & = 0 \end{matrix}

$\begin{align} \sum_{k \ge 0}(-1)^k & = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... \\ & = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + ... & = 1 \\ & = (1 - 1) + (1 - 1) + ... & = 0 \\ \end{align}$

더하는 방식에 따라 결과가 달라진다.

이런 경우, 합의 결과가 0 인지 1인지 알 수가 없다.

이에 대해 책에서는 다음과 같이 말한다.

고급 해석학에서는 이런 경우를 해결하는 여러 가지 정의들이 있다.
그런데 그 정의들을 사용하면, 여태 사용했던 $\sum$ 의 사용에 제약이 생긴다.
그러므로 이 책에서는 지금까지 배운 내용들이 모두 호환되는 정의를 사용하도록 한다.

무한합의 일반 정의

임의의 실수 $x$ 에 대하여, 양수 부분과 음수 부분을 쪼개어 다음과 같이 표현하자.

x = x^{+} - x^{-}

$x = x^+ - x^-$

그대로 $\sum$ 을 씌우면 지금까지 배운 내용들이 모두 호환되는 무한합의 일반 정의가 된다.

\sum k \in K a_{k} = \sum k \in K a_{k}^{+} - \sum k \in K a_{k}^{-}

$\sum_{k \in K} a_k = \sum_{k \in K}a_k^+ - \sum_{k \in K} a_k^-$

(단, $\sum_{k \in K}a_k^+$ 와 $\sum_{k \in K}a_k^-$ 둘 다 $\infty$ 인 경우는 제외한다.)

그리고 일일이 쓰기 귀찮으니 다음과 같이 정의하자.

A^{+} = \sum k \in K a_{k}^{+} A^{-} = \sum k \in K a_{k}^{-}

$A^+ = \sum_{k \in K} a_k^+ \\ A^- = \sum_{k \in K} a_k^- \\$

절대수렴(converge absolutely)과 발산(diverge)

$A^+$	$A^-$	$\sum_{k\in K}a_k$
유한	유한	$A=A^+-A^-$ 에 절대수렴한다.
$\infty$	유한	$+\infty$ 로 발산한다.
유한	$\infty$	$-\infty$ 로 발산한다.
$\infty$	$\infty$	무의미

위의 표는 다음과 같이 이해하면 된다.

첫 번째 줄의 경우 " $A^+$ 가 유한하고, $A^-$ 가 유한하면, $\sum_{k\in K}a_k$ 는 $A$ 에 절대수렴한다."

복소수의 경우로 확장

$a_k$ 를 복소수의 경우까지 확장해보자.

$\sum_{k \in K} a_k = \sum_{k \in K} \Re_{a_k} + i \sum_{k \in K} \Im_{a_k}$

ℜ : Real Number. 실수.
- 즉 $\Re_{a_k}$ 는 $a_k$ 의 실수부이다.
ℑ : Imaginary Number. 허수.
- 즉 $\Im_{a_k}$ 는 $a_k$ 의 허수부이다.

i만 주의해서 사용하면 실수를 쓸 때와 큰 차이가 없을 것 같다.

나쁜 소식에 대하여

지금까지 배운 모든 합의 규칙들은 절대수렴하는 합들을 다룰 때에만 유효하다.
몇몇 무한합은 정의하지 않고 넘어갈 수 밖에 없다.

다중합의 근본 원리

Absolutely convergent sums over two or more indices can always be summed first with respect to any one of those indices.
둘 이상의 색인들에 관한 절대수렴 합은 항상 그 색인들 중 하나에 관해 먼저 합산할 수 있다.

말하자면, 색인이 여럿 있는 절대수렴 합은, 색인별로 먼저 합을 구해도 된다는 뜻이다.

증명은 책에 자세히 나와 있으므로 생략한다.