개요

  • 라플라스 법칙(Laplace's Law)이라고도 부른다.

사전 정보가 부족한 상태에서 사건의 역사를 토대로 사건의 확률을 추정할 때 사용할 수 있다.

  • 시행의 결과 성공/실패를 알 수 있는 테스트가 있다 하자.
    • 각 테스트는 서로에게 영향을 주지 않는 독립 사건이라 하자.
  • 테스트를 n 번을 수행했더니, 성공이 s회 발생하였다.
  • 그렇다면 다음 번 테스트의 성공 확률은 얼마일까?
\[P(X_{n+1} = 1 \mid X_1 + ... + X_n = s) = \frac{s + 1}{n + 2}\]
  • 간단하게 \(\frac{s + 1}{n + 2}\)로 계산을 끝낼 수 있다.
  • 사건에 대해 n과 s외에 아무런 정보가 없을 때 사용할 수 있는 방법이다.

증명의 수학적 디테일은 wikipedia의 Mathematical details를 참고할 것.

응용

사전 정보 없이 어떤 복권을 다섯 장 사 보았는데 당첨이 세 장 나왔다.

기쁜 마음에 복권을 하나 더 구매할 때, 여섯 번째 복권도 당첨이 될 확률에 대해 추정할 수 있을까?

  • 이 복권에 대한 정보가 아무것도 없는 상태이다.
  • 참고할 수 있는 것은 내가 구매했던 다섯 장의 복권과, 세 장이 당첨되었다는 것 뿐이다.
  • 이와 같이 누구나 쉽게 당첨되는 복권인지 당첨자가 극소수에 지나지 않는 복권인지를 모른다면 후속 규칙을 사용할 수 있다.
  • \(\frac{3 + 1}{5 + 2} = \frac{4}{7}\) 로 당첨 확률을 추정할 수 있다.

후속 규칙의 합리성

  • 누군가 복권을 두 장 사서 두 장 다 당첨이 되었다.
  • 후속 규칙을 알고 있다면, 이런 상황에서 "두 번 해봤는데 두 번 다 당첨됐잖아… \(\frac{2}{2}\) 인 셈이니까 세 번째도 당첨되겠지?"라고 생각하는 일을 예방할 수 있다.
  • 후속 규칙을 토대로 생각한다면, \(\frac{1 + 2}{2 + 2} = \frac{3}{4}\)이니까 뭔가 당첨 확률이 높긴 하지만 항상 당첨될 리는 없다고 생각하게 된다.