수열의 합

다음과 같은 수열 \(\{ a_n \}\)이 있다고 하자.

\[\{ a_n \} = a_m, a_{m+1}, a_{m+2}, ..., a_n\]

이 수열 \(\{ a_n \}\)의 모든 항의 sum을 다음과 같이 표기한다.

\[\sum_{i=m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} ... + a_{n-1} + a_{n}\]

다음과 같이 범위를 사용해 표기하기도 한다.

\[\sum_\color{red}{ m ≤ i ≤ n } a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} ... + a_{n-1} + a_{n}\]

이것을 "\(a_i\)의 \(i = m\) 부터 \(n\) 까지의 합"이라 읽는다.

javascript 로 따지면 그냥 m 번 인덱스부터 n 번 인덱스까지 더하라는 뜻이다.

let sum = 0;
for (let i = m; i <= n; i++) {
    sum += a[i];
}

등비수열의 합

\(a, r\) 이 실수이고, \(r \ne 0\) 일 때

\[\sum_{j=0}^n ar^j = \begin{cases} { ar^{n+1} - a \over r-1 } & \text{ if $ r \ne 1$ } \\ (n + 1) \times a & \text{ if $ r = 1 $ } \\ \end{cases}\]

증명

\[\begin{array}{rlll} S_n & = \sum_{j=0}^n ar^j \\ rS_n & = r \times \sum_{j=0}^n ar^{j} \ ^\color{red}{(a)} \\ & = \sum_{j=0}^n ar^{(j+1)} \\ & = \sum_{j=0}^n ar^{k} \ ^\color{red}{(b)} \\ & = \sum_{k=1}^{n+1} ar^{k} \\ & = \left( \sum_{ \color{red}{k=0}}^{n+1} ar^{k} \right) - ar^0 \\ & = \left( \sum_{k=0}^{n+1} ar^{k} \right) - a \\ & = \left( \sum_{k=0}^{\color{red}n} ar^{k} \right) - a + ar^{n+1} \\ & = S_n - a + ar^{n+1} \\ rS_n - S_n & = - a + ar^{n+1} \\ S_n ( r - 1 ) & = - a + ar^{n+1} \\ S_n & = { - a + ar^{n+1} \over r - 1} \ \text{ (단, $ r \ne 1 $) }\\ \end{array}\]
  • (a) 양 변에 \(r\)을 곱한다.
  • (b) \(j+1\)이 성가시므로 \(k=j+1\) 이라 하자.

이중합

\[\sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^3 ij\]

\(\sum\) 이 두 개 나왔다고 당황할 필요는 없다.

위의 식은 다음 코드와 똑같다.

let sum = 0;
for (let i = 1; i <= 4; i++) {
    for (let j = 1; j <= 3; j++) {
        sum += i * j;
    }
}

유명한 공식들

적당히 외워두자.

\[\begin{array}{rl} \sum_{k=0}^n ar^k & = { ar^{n+1} - a \over r-1 } \quad \text{ 단, } r \ne 1 \\ \sum_{k=1}^n k & = { n(n+1) \over 2 } \\ \sum_{k=1}^n k^2 & = { n(n+1)(2n+1) \over 6 } \\ \sum_{k=1}^n k^3 & = { n^2 (n+1)^2 \over 4 } \\ \end{array}\]

다음은 \(\lvert x \rvert < 1\) 일 때 성립한다.

\[\begin{array}{rl} \sum_{k=0}^\infty x^k & = \frac{1}{1-x} \\ \sum_{k=1}^\infty k x^{k-1} & = \frac{1}{ (1-x)^2 } \\ \end{array}\]

참고문헌

  • Rosen의 이산수학 / Kenneth H. Rosen 저 / 공은배 등저 / 한국맥그로힐(McGraw-Hill KOREA) / 2017년 01월 06일