# 정의

## 집합(sets)

A set is an unordered collection of objects, called elements or members of the set. A set is said to contain its elements. We write $a ∈ A$ to denote that a is an element of the set A. The notation $a \notin A$ denotes that a is not an element of the set A.

• 집합은 순서 없는 객체들의 컬렉션이다.

## 집합의 같음

Two sets are equal if and only if they have the same elements. Therefore, if A and B are sets, then A and B are equal if and only if $∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B)$. We write $A=B$ if A and B are equal sets.

• 두 집합이 같은 원소를 갖고 있다면 두 집합은 같다.
• $A \subseteq B$ 이고, $B \subseteq A$ 이면 $A=B$.

## 부분집합(subset), 진 부분집합(proper subset)

The set A is a subset of B if and only if every element of A is also an element of B. We use the notation $A ⊆ B$ to indicate that A is a subset of the set B.

• 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소이면 A는 B의 부분집합이다.
• $A \subset B$ : 진 부분집합(proper subset)
• $A \subseteq B$ 이고, $A \ne B$ 이면 A는 B의 진 부분집합.

## 집합의 크기(cardinality)

Let S be a set. If there are exactly n distinct elements in S where n is a nonnegative integer, we say that S is a finite set and that n is the cardinality of S. The cardinality of S is denoted by $\vert S \vert$.

• 유한 집합(finite set) S의 크기는 $\vert S \vert$로 표기한다.

## 멱집합(poser set)

Given a set S, the power set of S is the set of all subsets of the set S. The power set of S is denoted by $P(S)$.

• 집합 S의 멱집합(power set)은 집합 S의 모든 부분집합의 집합을 말한다.
• $P(S)$로 표기한다.

## 데카르트 곱(cartesian products)

Let A and B be sets. The Cartesian product of A and B, denoted by $A × B$, is the set of all ordered pairs $(a, b)$, where $a ∈ A$ and $b ∈ B$. Hence, $A × B = \{(a, b) \vert a ∈ A ∧ b ∈ B \}$

• A와 B의 데카르트 곱 $A × B$$a ∈ A$ 이고 $b ∈ B$인 모든 순서쌍의 집합이다.
• $A_1 × A_2 × ... × A_n = \{(a_1, a_2, ..., a_n) \vert a_i ∈ A_i \ for \ i = 1, 2, ..., n \}$
• $A × B$의 부분집합 $R$을 집합 A 로부터 집합 B로의 관계(relation)라고 한다.

## 연산

### 합집합(union)

Let A and B be sets. The union of the sets A and B, denoted by $A ∪ B$, is the set that contains those elements that are either in A or in B, or in both.

• 여러 집합의 합집합은 적어도 하나의 집합에 있는 원소들의 집합이다.

### 교집합(intersection)

Let A and B be sets. The intersection of the sets A and B, denoted by $A ∩ B$, is the set containing those elements in both A and B.

• 여러 집합의 교집합은 여러 집합 모두에 나타나는 원소들의 집합이다.

#### 서로 소(disjoint)

Two sets are called disjoint if their intersection is the empty set.

• 두 집합의 교집합이 공집합인 경우를 서로 소라 한다.

### 차집합(difference)

Let A and B be sets. The difference of A and B, denoted by $A − B$, is the set containing those elements that are in A but not in B. The difference of A and B is also called the complement of B with respect to A.

• A에 대한 B의 여집합(complement of B with respect to A) 이라고도 부른다.

### 여집합(complement)

Let U be the universal set. The complement of the set A, denoted by $\bar{A}$, is the complement of A with respect to U . Therefore, the complement of the set A is $U − A$.

• 여집합은 $U - A$이고, $\bar{A}$로 표기한다.

# 용어 정리

English 한국어 Example
element, member 원소
roster method 원소나열법 $O = \{ 1,2,3 \}$
set builder notation 조건 제시법 $O = \{ x \vert x\text{는 짝수} \}$
empty set, null set 공집합 $\emptyset$
singleton set 단일원소 집합 $O = \{ 1 \}$
venn diagrams 벤 다이어그램
universal set 전체집합 $U$
subsets 부분집합
proper subset 진부분집합
size of a set, cardinality 집합의 크기 $\vert \emptyset \vert = 0$
power set 멱집합 $P(\{0,1\})=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$
ordered n-tuples 순서가 있는 n짝
ordered pairs 순서쌍

## 조건 제시법의 예

 $N =\{0,1,2,3,...\}$ 자연수의 집합 the set of natural numbers $Z =\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$ 정수의 집합 the set of integers $Z^+=\{1,2,3,...\}$ 양의 정수의 집합 the set of positive integers $Q =\{\frac{p}{q}\vert p\in Z,q\in Z,q\ne 0\}$ 유리수의 집합 the set of rational numbers $R$ 실수의 집합 the set of real numbers $R^+$ 양의 실수의 집합 the set of positive real numbers $C$ 복소수의 집합 the set of complex numbers

## 구간(interval) 표기법

• [a, b] : 닫힌 구간(closed interval)
• (a, b) : 열린 구간(open interval)

# 집합의 항등

 $A ∩ U = A$ $A ∪ \emptyset = A$ 항등법칙 Identity laws $A ∪ U = U$ $A ∩ \emptyset = \emptyset$ 지배법칙 Domination laws $A ∪ A = A$ $A ∩ A = A$ 멱등법칙 Idempotent laws $\overline{ (\bar{A}) } = A$ 보원법칙 Complementation law $A ∪ B = B ∪ A$ $A ∩ B = B ∩ A$ 교환법칙 Commutative laws $A∪(B∪C) = (A∪B)∪C$ $A∩(B∩C) = (A∩B)∩C$ 결합법칙 Associative laws $A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)$$A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)$ 분배법칙 Distributive laws $\bar{A∩B}=\bar{A}∪\bar{B}$$\bar{A∪B}=\bar{A}∩\bar{B}$ 드 모르간의 법칙 De Morgan’s laws $A ∪ (A ∩ B) = A$ $A ∩ (A ∪ B) = A$ 흡수법칙 Absorption laws $A ∪ \bar{A} = U$ $A ∩ \bar{A} = ∅$ 보수법칙 Complement laws

# datatype 과 집합

컴퓨터과학에서 이야기하는 “데이터형”이라고 하는 개념은 집합의 개념 위에 정의된다는 것에 주목하라. 특히 datatype, type이란 집합과 그 집합을 구성하고 있는 개체에 적용할 수 있는 연산자들의 집합을 말한다. 예를 들어 boolean 이란 집합 $\{ 0, 1 \}$과, 그 원소인 0과 1을 피연산자로 하여 연산을 수행하는 AND, OR, NOT과 같은 연산자들을 함께 지칭하는 것이다.

# 참고문헌

• Rosen의 이산수학 / Kenneth H. Rosen 저 / 공은배 등저 / 한국맥그로힐(McGraw-Hill KOREA) / 2017년 01월 06일