주사위 문제

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4면체, 6면체, 8면체, 12면체, 20면체 주사위가 든 상자가 있다.
상자에서 임의로 주사위 하나를 집어서 던졌더니 6이 나왔다.

각 주사위를 선택했을 확률은?

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손으로 계산해 풀기

5 개의 가설(Hypothesis)을 생각할 수 있다.
- 4면체 주사위를 던졌다.
- 6면체 주사위를 던졌다.
- 8면체 주사위를 던졌다.
- 12면체 주사위를 던졌다.
- 20면체 주사위를 던졌다.
데이터 D : 주사위를 던져 6이 나왔다.

이해하기 쉽게 표로 정리해 보자.

식	설명	값
$p(H_4)$	4면체 주사위를 선택할 확률	$\frac{1}{5}$
$p(H_6)$	6면체 주사위를 선택할 확률	$\frac{1}{5}$
$p(H_8)$	8면체 주사위를 선택할 확률	$\frac{1}{5}$
$p(H_{12})$	12면체 주사위를 선택할 확률	$\frac{1}{5}$
$p(H_{20})$	20면체 주사위를 선택할 확률	$\frac{1}{5}$
$p(D \mid H_4)$	4면체 주사위를 던져 6이 나올 확률	0
$p(D \mid H_6)$	6면체 주사위를 던져 6이 나올 확률	$\frac{1}{6}$
$p(D \mid H_8)$	8면체 주사위를 던져 6이 나올 확률	$\frac{1}{8}$
$p(D \mid H_{12})$	12면체 주사위를 던져 6이 나올 확률	$\frac{1}{12}$
$p(D \mid H_{20})$	20면체 주사위를 던져 6이 나올 확률	$\frac{1}{20}$
$p(D)$	주사위를 던져 6이 나올 확률	아직 모름

$p(D)$ 부터 구해보자.

\begin{aligned} p (D) = & p (D a n d H_{4}) \\ + p (D a n d H_{6}) \\ + p (D a n d H_{8}) \\ + p (D a n d H_{12}) \\ + p (D a n d H_{20}) \end{aligned}

$\begin{align} p(D) = & \space p(D \space and \space H_4) \\ & + p(D \space and \space H_6) \\ & + p(D \space and \space H_8) \\ & + p(D \space and \space H_{12}) \\ & + p(D \space and \space H_{20}) \\ \end{align}$

이는 다음과 같다.

\begin{aligned} p (D) = & p (H_{4}) p (D ∣ H_{4}) \\ + p (H_{6}) p (D ∣ H_{6}) \\ + p (H_{8}) p (D ∣ H_{8}) \\ + p (H_{12}) p (D ∣ H_{12}) \\ + p (H_{20}) p (D ∣ H_{20}) \\ = & \frac{1}{5} \times 0 \\ + \frac{1}{5} \times \frac{1}{6} \\ + \frac{1}{5} \times \frac{1}{8} \\ + \frac{1}{5} \times \frac{1}{12} \\ + \frac{1}{5} \times \frac{1}{20} \\ = & \frac{1}{5} (\frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20}) \\ = & \frac{1}{5} \times \frac{51}{120} = \frac{51}{600} \end{aligned}

$\begin{align} p(D) = & \space p(H_4)p(D \mid H_4) \\ & + p(H_6)p(D \mid H_6) \\ & + p(H_8)p(D \mid H_8) \\ & + p(H_{12})p(D \mid H_{12}) \\ & + p(H_{20})p(D \mid H_{20}) \\ \\ = & \space \frac{1}{5} \times 0 \\ & + \frac{1}{5} \times \frac{1}{6} \\ & + \frac{1}{5} \times \frac{1}{8} \\ & + \frac{1}{5} \times \frac{1}{12} \\ & + \frac{1}{5} \times \frac{1}{20} \\ \\ = & \space \frac{1}{5} \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} \right) \\ = & \space \frac{1}{5} \times \frac{51}{120} = \frac{51}{600} \end{align}$

이제 주사위 하나씩 살펴보면서 $p(H_n \mid D)$ 를 구하면 된다.

베이즈 정리(Bayes' theorem)에 의해 다음과 같이 식을 꾸밀 수 있다.

4면체 주사위를 던져 6이 나오는 것은 불가능하므로 패스.

6면체 주사위의 경우는

\begin{aligned} p (H_{6} ∣ D) = & \frac{p (H_{6}) p (D ∣ H_{6})}{p (D)} \\ = & \frac{\frac{1}{5} \times \frac{1}{6}}{\frac{51}{600}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{51}{120}} \\ = & \frac{1}{6} \times \frac{120}{51} = \frac{20}{51} \\ \approx & 0.392156862745098 \end{aligned}

$\begin{align} p(H_6 \mid D) = & {p(H_6) \space p(D \mid H_6) \over p(D)} \\ = & {\frac{1}{5} \times \frac{1}{\color{red}6} \over \frac{51}{600}} = {\frac{1}{\color{red}6} \over \frac{51}{120}} \\ = & \frac{1}{\color{red}6} \times \frac{120}{51} = \frac{20}{51} \\ \approx & 0.392156862745098 \\ \end{align}$

8면체 주사위의 경우는

\begin{aligned} p (H_{8} ∣ D) = & \frac{p (H_{8}) p (D ∣ H_{8})}{p (D)} \\ = & \frac{1}{8} \times \frac{120}{51} = \frac{15}{51} \\ \approx & 0.294117647058824 \end{aligned}

$\begin{align} p(H_8 \mid D) = & {p(H_8) \space p(D \mid H_8) \over p(D)} \\ = & \frac{1}{\color{red}8} \times \frac{120}{51} = \frac{15}{51} \\ \approx & 0.294117647058824 \\ \end{align}$

12면체 주사위의 경우는

\begin{aligned} p (H_{12} ∣ D) = & \frac{p (H_{12}) p (D ∣ H_{12})}{p (D)} \\ = & \frac{1}{12} \times \frac{120}{51} = \frac{10}{51} \\ \approx & 0.196078431372549 \end{aligned}

$\begin{align} p(H_{12} \mid D) = & {p(H_{12}) \space p(D \mid H_{12}) \over p(D)} \\ = & \frac{1}{\color{red}{12}} \times \frac{120}{51} = \frac{10}{51} \\ \approx & 0.196078431372549 \\ \end{align}$

20면체 주사위의 경우는

\begin{aligned} p (H_{20} ∣ D) = & \frac{p (H_{20}) p (D ∣ H_{20})}{p (D)} \\ = & \frac{1}{20} \times \frac{120}{51} = \frac{6}{51} \\ \approx & 0.117647058823529 \end{aligned}

$\begin{align} p(H_{20} \mid D) = & {p(H_{20}) \space p(D \mid H_{20}) \over p(D)} \\ = & \frac{1}{\color{red}{20}} \times \frac{120}{51} = \frac{6}{51} \\ \approx & 0.117647058823529 \\ \end{align}$

따라서 결과는 다음과 같다.

각 주사위를 선택했을 확률은?

주사위	확률
4면체	0
6면체	약 0.392156862745098
8면체	약 0.294117647058824
12면체	약 0.196078431372549
20면체	약 0.117647058823529

직접 코딩해 풀기

다음은 (study) 파이썬을 활용한 베이지안 통계의 코드를 참고하여 자바스크립트로 풀어본 것이다.

dice.js

// hypos: 가설의 배열
// 가설의 배열을 돌며 같은 경우의 수 1을 부여한다
function init(hypos) {
    const dict = {};
    hypos.forEach((h) => {
        dict[h] = 1;
    });
    return dict;
}

// 모든 가설을 돌며 mix의 data에 해당하는 값을 곱해 업데이트한다
function update(dict, data) {

    Object.keys(dict).forEach((hypo) => {
        dict[hypo] = dict[hypo] * likelihood(hypo, data);
    });

    return normalize(dict);
}

// p(D | H_n)
function likelihood(hypo, data) {
    if (hypo < data) {
        return 0;
    }
    return 1 / hypo;
}

// 모든 가설의 확률의 비율을 유지하며, 총합이 1이 되도록 정규화한다
function normalize(dict) {
    const values = Object.values(dict);
    const sum = values.reduce((a, b) => a + b);
    const result = {};
    Object.keys(dict).forEach((key) => {
        result[key] = dict[key] / sum;
    });
    return result;
}

function main() {

    const hypos = [4, 6, 8, 12, 20];
    const pmf = init(hypos);
    const result = update(pmf, 6);
    console.log(result);
}

main();

위의 코드를 실행하면 다음의 결과가 출력된다.

$ node dice.js
{ '4': 0,
  '6': 0.3921568627450981,
  '8': 0.2941176470588236,
  '12': 0.19607843137254904,
  '20': 0.11764705882352944 }

코드를 잘 읽어보면 p(D)는 일일이 구할 필요가 없으며, p(Hn) 도 비율만 맞춰주면 된다는 것을 알 수 있다.

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