보수 (Complement)

개요
정의
참고문헌
주석

개요

r 진수 N 에 대해 두 가지의 보수가 있다.

r의 보수 (r's complement)
r-1의 보수 (r-1's complement)

예를 들면 다음과 같다.

2진수에는 2의 보수와 1의 보수가 있다.
8진수에는 8의 보수와 7의 보수가 있다.
10진수에는 10의 보수와 9의 보수가 있다.

정의

r의 보수와 (r-1)의 보수의 관계

$\text{r의 보수} = \text{ $(r-1)$의 보수 + 가장 낮은 자리의 $1$ }$

r의 보수

정수부분이 n개의 자리로 구성된 r진수 N에 대한 r의 보수는 (식2.2)와 같이 정의된다.¹
[KIM] 2.1.2 보수. ↩ ↩²

$\text{$N$에 대한 $r$의 보수} = \begin{cases} r^n - N, & N \ne 0 \\ 0, & N = 0 \\ \end{cases}$

10진수 예제

10진수 42의 10의 보수를 구해보자.

주어진 숫자는 42 이므로, $N = 42$ .
정수부분은 42. 2개의 자리로 이루어져 있으므로, $n = 2$ 이다.
10진수 숫자이므로 $r = 10$ .

이를 종합하면 다음과 같다.

\begin{aligned} r^{n} - N & = 10^{2} - 42 \\ = 58 \end{aligned}

$\begin{align} r^n - N & = 10^2 - 42 \\ & = 58 \\ \end{align}$

쉽게 계산하려면 42보다 크면서 가장 작은 10의 거듭제곱수인 100에서 42를 빼주면 된다.

즉 $100 - 42$ 이다.

이번에는 10진수 42.31의 10의 보수를 구해보자.

주어진 숫자는 42.31 이므로, $N = 42.31$ .
정수부분은 42. 2개의 자리로 이루어져 있으므로, $n = 2$ 이다.
10진수 숫자이므로 $r = 10$ .

이를 종합하면 다음과 같다.

\begin{aligned} r^{n} - N & = 10^{2} - 42.31 \\ = 57.69 \end{aligned}

$\begin{align} r^n - N & = 10^2 - 42.31 \\ & = 57.69 \\ \end{align}$

2진수 예제

2진수 $110111_2$ 의 2의 보수를 구해보자.

6자리 수이므로 $2^6 - 110111_2$ 를 계산해주면 된다.

\begin{aligned} r^{n} - N & = 2^{6} - 110111_{2} \\ = 1000000_{2} - 110111_{2} \\ = 001001_{2} \\ = 1001_{2} \end{aligned}

$\begin{align} r^n - N & = 2^6 - 110111_2 \\ & = 1000000_2 - 110111_2 \\ & = 001001_2 \\ & = 1001_2 \\ \end{align}$

기계적으로는 모든 비트를 뒤집은 다음 1을 더해주면 2의 보수를 쉽게 구할 수 있다.

110111
001000 - 모든 비트 반전 (1의 보수)
001001 - 가장 마지막 자리에 1을 더해준다 (2의 보수)

소수점이 있어도 구하는 방법은 같다.

2진수 $1101.11_2$ 의 2의 보수를 구해보자.

\begin{aligned} r^{n} - N & = 2^{4} - {1101.11}_{2} \\ = {10000.00}_{2} - {1101.11}_{2} \\ = {10.01}_{2} \end{aligned}

$\begin{align} r^n - N & = 2^4 - 1101.11_2 \\ & = 10000.00_2 - 1101.11_2 \\ & = 10.01_2 \\ \end{align}$

기계적으로 구하는 것이 더 쉽다.

1101.11
0010.00 - 모든 비트 반전 (1의 보수)
0010.01 - 가장 마지막 자리에 1을 더해준다 모든 비트 반전 (2의 보수)

r-1의 보수

정수부분이 n개의 자리로 구성되고 소수점 아래가 m개의 자리로 구성된 r진수 N에 대한 (r-1)의 보수는 (식2.3)과 같이 정의된다.¹
[KIM] 2.1.2 보수. ↩ ↩²

$\text{$N$에 대한 $(r-1)$의 보수} = r^n - r^{-m} - N$

10진수 예제

10진수 42의 9의 보수를 구해보자.

주어진 숫자는 42 이므로, $N = 42$ .
정수부분은 42. 2개의 자리로 이루어져 있으므로, $n = 2$ 이다.
소수점 아래는 없으므로, $m = 0$ 이다.
10진수 숫자이므로 $r = 10$ .

이를 종합하면 다음과 같다.

\begin{aligned} r^{n} - r^{- m} - N & = 10^{2} - 10^{- 0} - 42 \\ = 100 - 1 - 42 \\ = 99 - 42 \\ = 57 \end{aligned}

$\begin{align} r^n - r^{-m} - N & = 10^2 - 10^{-0} - 42 \\ & = 100 \color{red}{- 1} - 42 \\ & = 99 - 42 \\ & = 57 \\ \end{align}$

$100 - 1 - 42$ 라는 것을 알 수 있다.

쉽게 계산하려면 42보다 크면서 가장 작은 10의 거듭제곱수인 100에서 1을 빼고 42를 빼주면 된다.

즉 $99 - 42$ 이다.

이번에는 10진수 42.31의 9의 보수를 구해보자.

주어진 숫자는 42.31 이므로, $N = 42.31$ .
정수부분은 42. 2개의 자리로 이루어져 있으므로, $n = 2$ 이다.
소수점 아래 .31은 2개의 자리로 이루어져 있으므로, $m = 2$ 이다.
10진수 숫자이므로 $r = 10$ .

이를 종합하면 다음과 같다.

\begin{aligned} r^{n} - r^{- m} - N & = 10^{2} - 10^{- 2} - 42.31 \\ = 100 - 0.01 - 42.31 \\ = 100 - 42.32 \\ = 57.68 \end{aligned}

$\begin{align} r^n - r^{-m} - N & = 10^2 - 10^{-2} - 42.31 \\ & = 100 - 0.01 - 42.31 \\ & = 100 - 42.32 \\ & = 57.68 \\ \end{align}$

2진수 예제

2진수 $110111_2$ 의 1의 보수를 구해보자.

6자리 수이므로 $2^6 - 2^{-0} - 110111_2$ 를 계산해주면 된다.

\begin{aligned} r^{n} - r^{- m} - N & = 2^{6} - 1 - 110111_{2} \\ = 1000000_{2} - 1 - 110111_{2} \\ = 001000_{2} \\ = 1000_{2} \end{aligned}

$\begin{align} r^n - r^{-m} - N & = 2^6 - 1 - 110111_2 \\ & = 1000000_2 - 1 - 110111_2 \\ & = 001000_2 \\ & = 1000_2 \\ \end{align}$

기계적으로는 모든 비트를 뒤집어 주기만 하면 1의 보수를 쉽게 구할 수 있다.

110111
001000 - 모든 비트 반전 (1의 보수)

소수점이 있어도 구하는 방법은 같다.

2진수 $1101.11_2$ 의 1의 보수를 구해보자.

\begin{aligned} r^{n} - r^{- m} - N & = 2^{4} - 2^{- 2} - {1101.11}_{2} \\ = {10000.00}_{2} - 0.01 - {1101.11}_{2} \\ = {1111.11}_{2} - {1101.11}_{2} \\ = {10.00}_{2} \end{aligned}

$\begin{align} r^n - r^{-m} - N & = 2^4 - 2^{-2} - 1101.11_2 \\ & = 10000.00_2 - 0.01 - 1101.11_2 \\ & = 1111.11_2 - 1101.11_2 \\ & = 10.00_2 \\ \end{align}$

기계적으로 구하는 것이 더 쉽다.

1101.11
0010.00 - 모든 비트 반전 (1의 보수)

참고문헌

[KIM] 디지털논리회로 / 김형근, 손진곤 공저 / 한국방송통신대학교출판문화원 / 3개정판 4쇄 2021년 01월 25일

주석

[KIM] 2.1.2 보수. ↩ ↩²