이 문서는 [[CONCRETE-MATH]] 2장.합 - 6.유한 - 무한 미적분을 공부한 노트입니다.

표기법

무한 미적분(infinite calculus)

미분연산자 D

무한 미적분은 미분연산자(derivative operator) D의 성질을 토대로 한다.

D를 적용하는 방법, 즉 미분하는 방법은 다음과 같다.

고등학교에서 배운 그냥 미분이다.

D 연산자의 역함수는

적분 기호 .

  • 상식대로 미분의 역함수는 적분이다.
    • 위에서 미분 연산자로 D가 나왔으므로, D의 역함수 역할을 하는 연산자는 적분 기호 이다.
    • 반도함수(anti-derivative) 연산자라고도 부른다.

책에 실린 두 연산자의 관계는 다음과 같다.

번역서에는 다음과 같이 나와 있다.

나는 다음과 같이 심플하게 이해했다. 고등학교에서 배운 그대로다.

  • 를 적분해서 나온 결과를 라 하자.
  • 그렇다면 를 미분하면 가 나온다.

정적분(definite integrals)

  • 이면 다음이 성립한다.
    • ( 를 미분한 결과가 이면 다음이 성립한다. )

유한 미적분(finite calculus)

차분연산자

"깔끔하고 체계적인 방식으로 합산에 접근할 수 있다."

유한 미적분은 차분연산자(difference operator) 의 성질을 토대로 한다.

차분(difference)은 "미분"과 한 글자 차이이므로 외우기도 쉽다.

유한 미적분 버전의 미분이라 생각하면 될 것 같다.

  • 위의 무한 미적분에서 살펴본 Df(x)에 다음의 제약을 추가한다.
    • h는 양의 정수.
    • 따라서, 의 극한에 가장 가까운 것은 .

위의 특징들을 적용한 식을 라 하자.

다음과 같이 식을 꾸밀 수 있다.

를 적용하는 방법, 즉 유한 미분(차분)하는 방법은 다음과 같다.

을 예로 들자면…

연산자의 역함수는

  • 반차분(anti-difference) 연산자라고도 한다.

책에 실린 두 연산자의 관계는 다음과 같다.

차분과 반차분의 관계는 무한 미적분의 미분과 적분의 관계와 비슷하다고 생각하면 될 것 같다.

번역서에는 다음과 같이 나와 있다.

나는 다음과 같이 심플하게 이해했다.

  • 의 닫힌 형식을 라 하자.
    • C는 적분 상수(적분 결과로 튀어나온 값이 무엇인지 모르는 상수).
  • 그렇다면 연산자를 적용하면 가 된다.

를 풀어 식으로 표현하자면 다음과 같다.

정합(definite sums)

무한 미적분에 정적분이 있는 것과 같이, 유한 미적분에는 정합이 있다.

구간이 있는 덧셈, 즉 구간이 있는 반차분이라 생각하면 될 것 같다.

  • 이면 다음이 성립한다. (단, )
    • ( 이면 다음이 성립한다. )

이유는 다음과 같다.

참고: 망원합(telescoping sum)

위에서 나온 와 같이, 전개했을 때 최초항과 마지막 항만 남는 모양의 합을 망원합(telescoping sum)이라 부른다.

쉽게 표현하자면 다음과 같다.

정합: 인 경우

정합의 정의는 다음과 같았다.

따라서 라면 다음이 성립한다.

  • 그냥 더해가는 방향이 다를 뿐이라고 생각하면 심플하다.
  • 어차피 적분과 아이디어는 같다.

같은 논리로 적분의 다음 항등식을 합산에 응용할 수 있다.

즉, 합산에서는 다음과 같다.

mth power 함수

편의를 위해 mth power 함수라는 형태를 새로 정의하자.

  • mth power 라고 쓰고 Math Power 라고 읽자! (신난다)

mth power 함수는 두 종류가 있다.

  • x의 m 내림제곱
  • x의 m 올림제곱

x의 m 내림제곱

팩토리얼과 비슷한 느낌이지만 약간 다르다.

예를 들어 10의 4 내림제곱이라면 다음과 같이 전개된다.

x의 m 올림제곱

이것도 팩토리얼과 비슷한 느낌이지만 약간 다르다.

예를 들어 10의 4 올림제곱이라면 다음과 같이 전개된다.

내림제곱, 올림제곱, 팩토리얼의 관계

내림 거듭제곱과 차분연산자

내림 거듭제곱 을 차분하면 다음과 같이 된다.

법칙: 내림제곱의 합산

위에서 배운 모든 표기법을 조합하여 다음을 유도할 수 있다.

이유는 다음과 같다.

잘 살펴보면, 적분과 비슷한 모양이라 외우기 쉽다.

내림제곱의 합산을 응용하기

의 증명

m = 1인 경우엔 다음과 같이 모양이 단순해진다.

여기에 내림제곱의 합산 공식을 적용하면 자연스럽게 를 유도할 수 있다. (부등호 에 주의)

만약 범위를 이 아니라 로 조정하면 다음과 같이 될 것이다.

방법은 간단하다. nn+1을 대입하면 된다.

또는 n 을 추가로 더해 유도하는 방법도 있을 것이다.

의 증명

이 결과를 에 대입해 보자.

만약 범위를 이 아니라 로 조정하면 다음과 같이 될 것이다.

방법은 간단하다. nn+1을 대입하면 된다.

너무 쉬워서 어이가 없을 정도다. 고등학생 때 이걸 배웠다면 얼마나 좋았을까.

은 어떻게 될까?

세제곱수의 합은 아직 알지 못하므로 이번 기회에 유도해 두면 편할 것 같다.

일단 제곱수의 합을 증명할 때와 같이 내림제곱을 사용하여 활용하기 적당한 식을 만들어 보자.

이제 합 식을 다음과 같이 꾸밀 수 있게 되었다.

그렇다면 은 다음과 같이 구할 수 있을 것이다.

이제 부터 까지의 의 합을 구했으므로 을 구할 수 있다.

다음과 같이 n 대신 n+1을 대입하면 될 것이다.

내림제곱의 또다른 특징

다음과 같이 직접 다루는 것이 가능한 경우가 많다.

다음은 널리 알려진 곱셈 공식이다.

이와 유사하게 내림제곱에서도 다음이 가능하다.

이유는 다음과 같다.

한편, 도 유사한 관계가 있다고 한다.

증명은 5장 연습문제 37번에서 한다.

내림제곱의 지수가 - 인 경우

다음과 같이 "더해가며 나누는 것"으로 생각할 수 있을 것이다.

따라서 다음과 같이 정의할 수 있다.

지수 m에는 실수를 넣을 수도 있고, 복소수를 넣을 수도 있다고 한다. (숫자 타입이 다 들어가네?)

이에 대해서는 5장에서 다룬다고 한다.

참고로 차분 연산자 또한 내림제곱이 음수일 때에도 성립한다고 한다.

내림제곱의 지수법칙

다음은 일반적인 거듭제곱의 지수법칙이다.

내림제곱에서는 다음과 같다.

이유는 다음과 같다.

내림제곱 합산 법칙의 일반화

의 이산 버전은 조화수

위에서 언급되었던 내림제곱의 합산 법칙은 다음과 같다.

이제 내림제곱이 음수에 대해서도 작동한다는 것을 알게 되었으므로, 법칙을 다음과 같이 일반화할 수 있다.

이제 인 경우만 알아보면 될 것 같다.

즉, 을 반차분한 의 해가 어떻게 되는지를 알아내면 된다.

쉽게 표현하자면, 차분했을 때 가 나오는 식 를 찾아야 한다.

이므로, 모양을 만족하는 함수를 찾으면 될 것 같다.

참고로 무한 미적분에서 을 적분하면 가 나온다.

따라서 이번 과제는 의 이산 버전을 찾는 셈이기도 하다.

자 그렇다면 이제 어떻게 찾아야 할지를 열심히 생각해야 한다.

…그런데 책에서 바로 답을 알려준다.

아하 이거라면 이 될 것 같다.

이유는 다음과 같다.

사실 이것은 예전에 배운 적 있는 조화수 이다.

책에 의하면 이로 인해 은 연속함수 의 이산 버전인 셈이라 한다.

아무튼 을 유한적분한 식이 조화수라는 것도 알게 되었다.

이제 다음과 같이 정리할 수 있다.

의 이산 버전은

를 찾았는데 의 이산 버전을 안 찾을 수는 없을 것이다.

참고로 무한 미적분에서의 는 미분해도 인 멋지고 유용한 녀석이다.

그렇다면 유한 미적분에서는 어떨까?

다음의 항등식을 만족시키는 를 찾으면 될 것 같다.

다음과 같이 정리할 수 있을 것 같다.

이는 다음 항으로 갈 때마다 2씩 곱해 간다는 의미이다.

심플하게 다음과 같이 정리할 수 있다.

시험삼아 유한 미분(차분)을 해 보자.

오 정말 자기 자신이 나온다.

그렇다면 2가 아니라 다른 수가 있는 경우엔 어떻게 차분할 수 있을까?

다음과 같이 하면 된다.

이를 통해 의 반차분은 가 된다는 것을 알 수 있다. (c-1은 상수이므로)

따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.

이것은 고등학교 때 배운 등비수열의 합 일반식을 증명하는 방법이기도 하다.

부분합산

이번에는 에 대해 알아보자.

"부분합산은 미적분의 부분적분(integration by parts)에 대응된다."

일단 무한 미적분에서는 다음과 같이 처리한다.

  •  
  •  

유한 미적분에서는 다음과 같다.

그리고 일일이 f(x+1)을 쓰는 건 귀찮으니 다음과 같은 표기법을 추가하자.

E는 자리이동 연산자(shift operator)라고 부른다.

이제 E를 적용하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

이제 유한/무한 부분미적분을 요약할 수 있다.

  • 무한 미적분의 경우:  
  • 유한 미적분의 경우:  

참고로, 무한 미적분에서는 유한 미적분에서 f(x+1)10으로 수렴하기 때문에 E가 사라진다.

그리고 양변에 부정합을 취해주면,

위의 식에 등장하는 세 항 모두에 한계(범위)를 지정하면 부정합은 정합이 된다. (부정적분이 정적분이 되는 것과 비슷)

부분합산의 응용:

  •  
    • 흔히 부분적분으로 적분하는 함수이다.
  •  
    • 위의 식의 이산 버전이다.

에 부분합산을 사용해 보자.

일단 다음과 같이 정의하고 풀이를 시작하자.

이를 위에서 얻어낸 공식에 대입하자.

이제 한계(범위)를 부여하자.

부분합산의 응용:

이번에는 다음을 풀어 보자.

일단 다음과 같이 정의하고 풀이를 시작하자.

이를 위에서 얻은 공식에 대입하자.

uv 순서를 지켜야 덜 헷갈리므로 로 바꾸고 푸는 쪽이 좋을 것 같다.

이제 한계(범위)를 주자.

차분 목록

다음은 책에 있는 지금까지 나온 차분 식을 옮겨온 것이다.

  • 왼쪽 열의 식을 차분하면 오른쪽 열이 나온다.
  • 오른쪽 열의 식을 반차분하면 왼쪽 열이 나온다.

예를 들어 첫번째 행은 "을 차분하면 이 된다"로 보면 적당하다.

참고
0  
1  
 
 
인 경우
인 경우
c는 상수
c는 상수
c는 상수
c는 상수

Links

  • [[CONCRETE-MATH]]