이 문서는 [[CONCRETE-MATH]] 2장.합 - 4.다중합을 공부한 노트입니다.

둘 이상의 색인을 사용하기

색인이 여러 개 있어도 합 기호는 하나만 써도 된다.

\[\begin{align} \sum_{1 \le j,k \le 3} a_j b_k \\ = & a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_1 b_3 \\ & + a_2 b_1 + a_2 b_2 + a_2 b_3 \\ & + a_3 b_1 + a_3 b_2 + a_3 b_3 \\ \end{align}\]

위의 식을 python으로 표현하면 다음과 같다.

sum = 0
for j in range(1, 3+1):
    for k in range(1, 3+1):
        sum += a[j] * b[k]

아이버슨의 관례 사용

\[\sum_{P(j,k)} a_{j,k} = \sum_{j,k} a_{j,k} \cdot [ P(j,k) ]\]

복습: 아이버슨의 관례?

대괄호 안에 있는 내용이 true이면 1, 아니면 0.

    • [2는 짝수] = 1
    • [2는 홀수] = 0

합 기호를 두 개 사용하는 경우: 합들의 합을 다루는 경우

\[\sum_{j} \left( \sum_{k} a_{j,k} [P(j,k)] \right) = \sum_{j} \sum_{k} a_{j,k} [P(j,k)]\]
  • 2중 for문과 똑같이 생각하면 된다.
    • 안쪽에서부터 실행된다고 생각하자. 즉, 위에서는 kj보다 먼저다.
  • j, k는 콜렉션이라 생각하면 된다.
    • \(\sum_j\)는 덧셈 루프에 j콜렉션을 집어넣은 것이다. 즉 루프를 돌며 j의 원소가 하나씩 함수에 입력되고, \(\sum\)은 함수의 출력 결과가 나올 때마다 더한다.
  • 주석을 붙이자면 다음과 같다.
\[\underbrace{ \sum_{j} \overbrace{ \sum_{k} a_{j,k} [P(j,k)] }^{P(j,k)가 참인 모든 정수 k에 대한 모든 a_{j,k} 항의 합} }_{모든 정수 j에 대한 \sum_{k} a_{j,k} [P(j,k)]들의 합}\]

합산 순서 교환 법칙(interchanging the order of summation)

\[\begin{align} \sum_j \sum_k a_{j,k} [P(j,k)] & = \sum_{j,k} a_{j,k} \\ & = \sum_k \sum_j a_{j,k} [P(j,k)] \\ \end{align} \tag{2.27}\label{2.27}\]
  • 어차피 덧셈이라 순서가 바뀌어도 결과는 달라지지 않는다.
  • 따라서 어느 쪽이 계산이 더 쉬울지 고려해서 계산하기 편한 쪽을 고른다.

일반 분배법칙(general distributive law)

이번 장 처음에 나온 \(\sum_{1 \le j,k \le 3} a_j b_k\) 를 풀어보자.

회색으로 보이는 식은, 이해를 돕기 위해 붙인 것이다.

\[\begin{align} \sum_{1 \le j,k \le 3} a_j b_k & = \sum_{j,k} a_j b_k [1 \le j,k \le 3] \\ & \color{gray}{ = a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_1 b_3 + a_2 b_1 + a_2 b_2 + a_2 b_3 + a_3 b_1 + a_3 b_2 + a_3 b_3 } \\ & = \sum_{j,k} a_j b_k [1 \le j \le 3][1 \le k \le 3] \\ & \color{gray}{ = a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_1 b_3 + a_2 b_1 + a_2 b_2 + a_2 b_3 + a_3 b_1 + a_3 b_2 + a_3 b_3 } \\ & = \sum_j \sum_k a_j b_k [1 \le j \le 3][1 \le k \le 3] \\ & \color{gray}{ = (a_1 b_1 + a_1 b_2 + a_1 b_3) + (a_2 b_1 + a_2 b_2 + a_2 b_3) + (a_3 b_1 + a_3 b_2 + a_3 b_3) } \\ & = \sum_j a_j [1 \le j \le 3] \sum_k b_k [1 \le k \le 3] \\ & \color{gray}{ = a_1(b_1 + b_2 + b_3) + a_2(b_1 + b_2 + b_3) + a_3(b_1 + b_2 + b_3) } \\ & = \sum_j a_j [1 \le j \le 3] \left( \sum_k b_k [1 \le k \le 3] \right) \\ & \color{gray}{ = a_1(b_1 + b_2 + b_3) + a_2(b_1 + b_2 + b_3) + a_3(b_1 + b_2 + b_3) } \\ & = \left( \sum_j a_j [1 \le j \le 3] \right) \left( \sum_k b_k [1 \le k \le 3] \right) \\ & \color{gray}{ = (a_1 + a_2 + a_3)(b_1 + b_2 + b_3) } \\ & = \left( \sum_{j=1}^3 a_j \right) \left( \sum_{k=1}^3 b_k \right)\\ & \color{gray}{ = (a_1 + a_2 + a_3)(b_1 + b_2 + b_3) } \\ \end{align}\]

위의 과정을 통해 "색인 J, K의 모든 집합에 대해 성립하는" 일반 분배법칙을 유도할 수 있다.

\[\sum_{ j \in J \\ k \in K } a_j b_k = \left( \sum_{j \in J} a_j \right)\left( \sum_{k \in K} b_k\right) \tag{2.28}\label{2.28}\]

합산 순서 교환 기본 법칙의 변형들

크게 두 가지 버전이 있다.

vanilla version

  • \(\eqref{2.27}\)과 똑같은 원리.
  • j, k의 limit가 독립적일 때 사용.
\[\begin{align} \sum_{j \in J} \sum_{k \in K} a_{j,k} & = \sum_{j \in J \\ k \in K} a_{j,k} \\ & = \sum_\color{red}{k \in K} \sum_\color{red}{j \in J} a_{j,k} \end{align} \tag{2.29}\label{2.29}\]

rocky road version

  • 안쪽 합의 범위가 바깥쪽 합의 색인 변수에 의존적인 경우에 사용.
\[\sum_{j \in J} \sum_{k \in K(j)} a_{j,k} = \sum_\color{red}{k \in K'} \sum_\color{red}{j \in J'(k)} a_{j,k} \\ \text{단, 다음 조건을 만족해야 한다.} \\ [j \in J][k \in K(j)] = [k \in K'][j \in J'(k)] \tag{2.30}\label{2.30}\]
  • 조건식을 좀 더 자세히 살펴보자.
    • 좌변을 인수분해(factorization)하여 우변을 얻은 것이라고 책에서는 표현한다.
\[[j \in J][k \in K(j)] = [k \in K'][j \in J'(k)]\]

유용한 인수분해

\[\begin{align} [1 \le j \le n][j \le k \le n] & = [1 \le j \le k \le n] \\ & = [1 \le k \le n][1 \le j \le k] \end{align}\]

아이버슨식 공식을 사용한 변환식

위의 공식을 활용하면 다음이 가능하다.

\[\begin{align} \sum_{j = 1}^n \sum_{k = j}^n a_{j,k} & = \sum_{1 \le j \le k n} a_{j,k} \\ & = \sum_\color{red}{k=1}^n \sum_\color{red}{j=1}^\color{red}k a_{j,k} \\ \end{align}\]

아무래도 좌변보다 우변이 사용하기 쉬워 보인다.

응용: 상삼각 배열의 합을 단순한 단일합으로 표현하기

다음 식을 단순하게 정리하고 싶다고 하자.

\[\sum_{1 \le j \le k \le n} a_j a_k\]

식만 갖고는 생각하기 어려우니까 단순하게 다음과 같은 배열이 있다고 상상해 보자.

위의 식은 아래 배열의 파란색 항목(대각선)과 빨간색 항목의 합이라 할 수 있다.

\[\begin{bmatrix} \color{blue}{a_1 a_1} & \color{red}{a_1 a_2} & \color{red}{a_1 a_3} & \color{red}\cdots & \color{red}{a_1 a_n} \\ a_2 a_1 & \color{blue}{a_2 a_2} & \color{red}{a_2 a_3} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{a_2 a_n} \\ a_3 a_1 & a_3 a_2 & \color{blue}{a_3 a_3} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{a_3 a_n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \color{blue}{\ddots} & \color{red}{\vdots} \\ a_n a_1 & a_n a_2 & a_n a_3 & \cdots & \color{blue}{a_n a_n} \\ \end{bmatrix}\]

삼각형 모양이니까… 이를 다음과 같이 축약하여 표현할 수 있을 것이다.

\[S_\unicode{0x25F9} = \sum_{1 \le j \le k \le n} a_j a_k\] \[\begin{bmatrix} \color{blue}{a_1 a_1} & \color{red}{a_1 a_2} & \color{red}{a_1 a_3} & \color{red}\cdots & \color{red}{a_1 a_n} \\ & \color{blue}{a_2 a_2} & \color{red}{a_2 a_3} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{a_2 a_n} \\ & & \color{blue}{a_3 a_3} & \color{red}{\cdots} & \color{red}{a_3 a_n} \\ & & & \color{blue}{\ddots} & \color{red}{\vdots} \\ & & & & \color{blue}{a_n a_n} \\ \end{bmatrix}\]

즉, 우리의 목표는 \(S_\unicode{0x25F9}\)을 단순하게 정리하는 것이다.

한편, 파란색 항목과 까만색 항목의 합은 다음과 같이 표현할 수 있을 것이다.

\[S_\unicode{0x25FA} = \sum_{1 \le k \le j \le n} a_j a_k\] \[\begin{bmatrix} \color{blue}{a_1 a_1} & & & & \\ a_2 a_1 & \color{blue}{a_2 a_2} & & & \\ a_3 a_1 & a_3 a_2 & \color{blue}{a_3 a_3} & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \color{blue}{\ddots} & \\ a_n a_1 & a_n a_2 & a_n a_3 & \cdots & \color{blue}{a_n a_n} \\ \end{bmatrix}\]

곰곰히 살펴보면 \(S_\unicode{0x25F9} = S_\unicode{0x25FA}\) 라는 것을 알 수 있다!

(\(a_1 \cdot a_2 = a_2 \cdot a_1\) 이기 때문)

이 아이디어를 식으로 표현하면 다음과 같다.

\[\begin{align} S_\unicode{0x25F9} & = \sum_{1 \le j \le k \le n} a_j a_k \\ & = \sum_{1 \le k \le j \le n} a_k a_j \\ & = \sum_{1 \le k \le j \le n} a_j a_k \\ & = S_\unicode{0x25FA} \\ \end{align}\]

덧붙여, 다음 사실도 알 수 있다.

\[\begin{array}{cccc} [1 \le j \le k \le n] & + & [1 \le k \le j \le n] & = & [1 \le j,k \le n] & + & [1 \le j = k \le n] \\ 가 & & 나 & & 다 & & 라 \\ \end{array}\]

어려운 식 같지만 하나씩 살펴보면 이해할 수 있다.

  • 가. \([1 \le j \le k \le n]\) 은 다음을 말한다.
\[\begin{bmatrix} a_1 a_1 & a_1 a_2 & a_1 a_3 & \cdots & a_1 a_n \\ & a_2 a_2 & a_2 a_3 & \cdots & a_2 a_n \\ & & a_3 a_3 & \cdots & a_3 a_n \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & a_n a_n \\ \end{bmatrix}\]
  • 나. \([1 \le k \le j \le n]\) 은 다음을 말한다.
\[\begin{bmatrix} a_1 a_1 & & & & \\ a_2 a_1 & a_2 a_2 & & & \\ a_3 a_1 & a_3 a_2 & a_3 a_3 & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_n a_1 & a_n a_2 & a_n a_3 & \cdots & a_n a_n \\ \end{bmatrix}\]
  • 다. \([1 \le j,k \le n]\)는 다음을 말한다.
\[\begin{bmatrix} a_1 a_1 & a_1 a_2 & a_1 a_3 & \cdots & a_1 a_n \\ a_2 a_1 & a_2 a_2 & a_2 a_3 & \cdots & a_2 a_n \\ a_3 a_1 & a_3 a_2 & a_3 a_3 & \cdots & a_3 a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n a_1 & a_n a_2 & a_n a_3 & \cdots & a_n a_n \\ \end{bmatrix}\]
  • 라. \([1 \le j = k \le n]\) 는 다음을 말한다.
\[\begin{bmatrix} a_1 a_1 & & & & \\ & a_2 a_2 & & & \\ & & a_3 a_3 & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & a_n a_n \\ \end{bmatrix}\]
  • 가 + 나 = 다 + 라임을 어렵지 않게 알 수 있다.

아무튼, 이를 통해 다음을 유도할 수 있다.

\[\begin{align} 2S_\unicode{0x25F9} & = S_\unicode{0x25F9} + S_\unicode{0x25FA} \\ & \color{gray}{= \text{오른쪽 위 삼각형} + \text{왼쪽 아래 삼각형} }\\ & = \sum_{1 \le j,k \le n} a_j a_k + \sum_{1 \le j = k \le n} a_j a_k \\ & \color{gray}{= \text{전체} + \text{대각선} }\\ & = \left( \sum_{j=1}^n a_j \right) \left( \sum_{k=1}^n a_k \right) + \sum_{1 \le j = k \le n} a_j a_k \\ & = \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 + \sum_{1 \le j = k \le n} a_j a_k \\ & = \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 + \sum_{k=1}^n (a_k)^2 \\ \\ \therefore S_\unicode{0x25F9} & = \frac{1}{2} \left( \left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^2 + \sum_{k=1}^n (a_k)^2 \right) \\ \end{align}\]

응용: 또 다른 형태의 이중합을 정리하기

\[S = \sum_{1 \le j \lt k \le n} (a_k - a_j)(b_k - b_j)\]

이번에는 위의 식을 정리해 보자.

  • 책을 보면 "jk의 교환에 대칭성이 존재한다."고 한다.
    • jk를 서로 바꾸어도 똑같다는 말이다.
\[\begin{align} S & = \sum_{1 \le j \lt k \le n} (a_k - a_j)(b_k - b_j) \\ & = \sum_{1 \le k \lt j \le n} (a_j - a_k)(b_j - b_k) \\ & = \sum_{1 \le k \lt j \le n} (a_k - a_j)(b_k - b_j) \\ \end{align}\]

이를 다음과 같이 2S = ...의 형태로 정리할 수 있는데,

\[\begin{align} 2S & = \sum_{1 \le j,k \le n} (a_j - a_k)(b_j - b_k) - \sum_{1 \le j = k \le n} (a_j - a_k)(b_j - b_k) \\ \end{align}\]

그 이유는 다음과 같다.

\[\begin{array}{ccccccc} [1 \le j \lt k \le n] & + & [1 \le k \lt j \le n] & = & [1 \le j,k \le n] & - & [1 \le j = k \le n] \\ { 오른쪽 위 삼각형 \\ (대각선 제외) } & + & { 왼쪽 아래 삼각형 \\ (대각선 제외) } & = & 전체 & - & 대각선 \end{array}\]

이제 계속 정리해 보자.

\[\begin{align} 2S & = \sum_{1 \le j,k \le n} (a_j - a_k)(b_j - b_k) - \sum_{1 \le j = k \le n} (a_j - a_k)(b_j - b_k) \\ & = \sum_{1 \le j,k \le n} (a_j - a_k)(b_j - b_k) - 0 \\ & \color{gray}{ \qquad \because \text{두번째 합의 조건이 } j=k \text{ 이므로, } a_j - a_k = 0, \, b_j - b_k = 0 }\\ & = \sum_{1 \le j,k \le n} (a_j - a_k)(b_j - b_k) \\ & \qquad \color{gray}{\text{괄호를 전개하면}} \\ & = \sum_{1 \le j,k \le n} a_j b_j - \sum_{1 \le j,k \le n} a_j b_k - \sum_{1 \le j,k \le n} a_k b_j + \sum_{1 \le j,k \le n} a_k b_k \\ & = \left( \sum_{1 \le j,k \le n} a_j b_j + \sum_{1 \le j,k \le n} a_k b_k \right) - \left( \sum_{1 \le j,k \le n} a_j b_k + \sum_{1 \le j,k \le n} a_k b_j \right) \\ \\ & = 2 \sum_{1 \le j,k \le n} a_k b_k - 2 \sum_{1 \le j,k \le n} a_j b_k \\ & = 2 \left( \sum_{1 \le k \le n} \sum_{1 \le j \le n} a_k b_k \right) - 2 \sum_{1 \le j,k \le n} a_j b_k \\ & = 2 \left( \sum_{1 \le k \le n} a_k b_k \sum_{1 \le j \le n} 1 \right) - 2 \sum_{1 \le j,k \le n} a_j b_k \\ & = 2 \left( \sum_{1 \le k \le n} a_k b_k n \right) - 2 \sum_{1 \le j,k \le n} a_j b_k \\ & = 2n \left( \sum_{1 \le k \le n} a_k b_k \right) - 2 \sum_{1 \le j,k \le n} a_j b_k \\ & = 2n \left( \sum_{1 \le k \le n} a_k b_k \right) - 2 \left( \sum_{k=1}^n a_k \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k \right) \\ & \color{gray}{\text{양 변을 2로 나누자}} \\ S & = n \left( \sum_{1 \le k \le n} a_k b_k \right) - \left( \sum_{k=1}^n a_k \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k \right) \\ \sum_{1 \le j \lt k \le n} (a_k - a_j)(b_k - b_j) & = n \left( \sum_{1 \le k \le n} a_k b_k \right) - \left( \sum_{k=1}^n a_k \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k \right) \\ \left( \sum_{k=1}^n a_k \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k \right) & = n \left( \sum_{1 \le k \le n} a_k b_k \right) - \sum_{1 \le j \lt k \le n} (a_k - a_j)(b_k - b_j) \\ & = n \sum_{k=1}^n a_k b_k - \sum_{1 \le j \lt k \le n} (a_k - a_j)(b_k - b_j) \\ \\ \end{align}\]

이를 통해 다음 항등식을 얻어내었다.

\[\left( \sum_{k=1}^n a_k \right) \left( \sum_{k=1}^n b_k \right) = n \sum_{k=1}^n a_k b_k - \sum_{1 \le j \lt k \le n} (a_k - a_j)(b_k - b_j) \\\]

체비쇼프 단조 부등식(Chebyshev's monotonic inequalities)

체비쇼프 단조 부등식은 위에서 얻어낸 항등식의 사례 중 하나이다.

\[\begin{align} \left( \sum_{k=1}^n a_k \sum_{k=1}^n b_k \right) & \le n \sum_{k=1}^n a_k b_k, \quad if \; a_1 \le \cdots \le a_n \; and \; b_1 \le \cdots \le b_n; \\ \left( \sum_{k=1}^n a_k \sum_{k=1}^n b_k \right) & \ge n \sum_{k=1}^n a_k b_k, \quad if \; a_1 \le \cdots \le a_n \; and \; b_1 \ge \cdots \ge b_n; \\ \end{align}\]

교환법칙?

다중합과 단일합의 일반적인 합산 색인 변경 연산 사이의 관계를 살펴본다.

\[\sum_{k \in K} a_k = \sum_{p(k) \in K} a_{p(k)}\]
  • \(k \in K\) : K는 정수의 집합이다. k는 정수 집합 K의 원소이므로 정수이다.
  • 함수 p(k)의 리턴 타입이 정수이고, 모든 리턴 값이 K의 원소라면 위와 같이 kp(k)로 바꿔칠 수 있다.

여기에서, 색인 변수 kf(j)로 대체해보자.

  • f는 정수 \(j \in J\) 를 정수 \(f(j) \in K\)로 대응시키는 함수이다.
    • 정수 배열 J의 원소인 j를 입력했을 때, 정수 배열 K의 원소가 나오는 함수 f를 말하는 것이다.

그러면 다음과 같이 된다.

\[\begin{align} \sum_{j \in J} a_{f(j)} & = \sum_{ j \in J \\ k \in K } a_k [f(j) = k] \\ & = \sum_{k \in K} a_k \sum_{j \in J} [f(j) = k] \\ & = \sum_{k \in K} a_k \#f^-(k) \\ \tag{2.35}\label{2.35} \end{align}\]
  • 이때, \(\#f^-(k)\)는 집합 \(f^-(k)\)의 원소의 갯수이다.
  • \(f^-(k)\)는 \(f(k)\)의 역함수이다.
    • 즉, \(f^-(k)\)는 \(f(j) = k\)를 뒤집은 것이다.

만약 fJK를 일대일 대응시킨다면 \(\#f^-(k)\)의 값은 언제나 1이 된다.

그렇다면 \(\eqref{2.35}\)는 다음과 같이 정리할 수 있다.

\[\sum_{j \in J} a_{f(j)} = \sum_{f(j) \in K} a_{f(j)} = \sum_{k \in K} a_k\]

이는 교환 법칙과 똑같다.

구체적인 다중합의 예

\[S_n = \sum_{1 \le j \lt k \le n} \frac{1}{k - j}\]

작은 값부터 생각해 보자.

\[S_1 = \sum_{1 \le j \lt k \le 1} \frac{1}{k - j} = 0 \\\]
  • \(1 \le j \lt k \le 1\) 이므로, \(j = k = 1\) 이어야 한다.
  • 그러나 \(k - j\) 가 분모에 있으므로 이 합은 더할 항이 하나도 없다.
    • 따라서 0 이다.
\[\begin{align} S_2 & = \sum_{1 \le j \lt k \le 2} \frac{1}{k - j} \\ & = \sum_{j = 1 \\ k = 2} \frac{1}{k - j} \\ & = \frac{1}{2 - 1} \\ & = 1 \\ \end{align}\]
  • \(1 \le j \lt k \le 2\) 를 만족시키는 j, kj = 1, k = 2 밖에 없다.
    • 따라서 1 이다.
\[\begin{align} S_3 & = \sum_{1 \le j \lt k \le 3} \frac{1}{k - j} \\ & = \frac{1}{2-1} + \frac{1}{3-1} + \frac{1}{3-2} \\ & = 1 + \frac{1}{2} + 1 \\ & = \frac{5}{2} \\ \end{align}\]
  • \(1 \le j \lt k \le 3\) 를 만족시키는 (j, k)(1,2),(1,3),(2,3) 밖에 없다.
    • 따라서 결과는 5/2.

이제 이 식을 정리해 보자.

\[\begin{align} S_n & = \sum_{1 \le j \lt k \le n} \frac{1}{k - j} \\ & = \sum_{1 \le k \le n} \sum_{1 \le j \lt k} \frac{1}{k-j} \\ & \color{gray}{\text{안쪽 루프를 j에 대한 것으로 정리}} \\ & = \sum_{1 \le k \le n} \sum_{1 \le k-j \lt k} \frac{1}{j} \\ & \color{gray}{\text{j를 k - j 로 교체}} \\ & = \sum_{1 \le k \le n} \; \sum_{1-k \le -j \lt k-k} \frac{1}{j} \\ & = \sum_{1 \le k \le n} \; \sum_{0 \lt j \lt k-1} \frac{1}{j} \\ & \color{gray}{\text{안쪽 루프 인덱스를 j 위주로 정리}} \\ & = \sum_{1 \le k \le n} H_{k-1} \\ & \color{gray}{\text{조화수이므로 } H_{k-1} \text{ 로 교체}} \\ & = \sum_{1 \le k+1 \le n} H_{k} \\ & = \sum_{0 \le k \lt n} H_{k} \\ \end{align}\]

모양이 꽤 단순해졌지만, 아직 우리는 조화수의 합을 구하는 식을 모른다.

그래서 다른 방법으로 풀어야 한다.

\[\begin{align} S_n & = \sum_{1 \le j \lt k \le n} \frac{1}{k - j} \\ & = \sum_{1 \le j \lt k+j \le n} \frac{1}{k + j - j} \\ & \color{gray}{\text{k를 k + j 로 치환}} \\ & = \sum_{1 \le j \lt k+j \le n} \frac{1}{k} \\ & = \sum_{1 \le k \le n} \; \sum_{1 \le j \le n-k} \frac{1}{k} \\ & \color{gray}{\text{안쪽 루프를 j에 대한 것으로 정리}} \\ & = \sum_{1 \le k \le n} \; \sum_{1 \le j \le n-k} (\frac{1}{k} + 0 \cdot j) \\ & = \sum_{1 \le k \le n} (n-k) \cdot \frac{1}{k} \\ & \color{gray}{1 \le j \le n-k \text{를 만족시키는 j는 } n-k \text{개.}} \\ & = \sum_{1 \le k \le n} \left( \frac{n}{k} - \frac{k}{k} \right) \\ & = \sum_{1 \le k \le n} \left( \frac{n}{k} - 1 \right) \\ & = \sum_{1 \le k \le n} \frac{n}{k} - \sum_{1 \le k \le n} 1 \\ & = n \left( \sum_{1 \le k \le n} \frac{1}{k} \right) - n \\ & = n H_n - n \\ & \color{gray}{\text{조화수이므로 } H_{n} \text{ 으로 교체}} \\ \end{align}\] \[\begin{array}{crccc} \therefore & S_n & = n H_n - n \\ \therefore & \sum_{0 \le k \lt n} H_{k} & = n H_n - n \\ \end{array} \\ \color{gray}{\text{앞에서 먼저 구한 식을 활용}} \\\]

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