이 문서는 [[CONCRETE-MATH]] 2장.합 - 2.합의 조작을 공부한 노트입니다.

법칙들

  • K가 임의의 유한 정수 집합이라 하자.

분배법칙(distributive law)

\[\sum_{k \in K} c a_k = c \sum_{k \in K} a_k\]

이유는 다음과 같다.

\[ca_1 + ca_2 + ... + ca_n = c ( a_1 + a_2 + ... + a_n )\]

결합법칙(associative law)

\[\sum_{k \in K} (a_k + b_k) = \sum_{k \in K} a_k + \sum_{k \in K} b_k\]

이유는 다음과 같다.

\[(a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + ... + (a_n + b_n) = (a_1 + a_2 + ... + a_n) + (b_1 + b_2 + ... + b_n)\]

교환법칙(commutative law)

\[\sum_{k \in K} a_k = \sum_{p(k) \in K} a_{p(k)}\]

법칙의 응용: 등차수열의 일반합

\[\begin{align} S & = \sum_{ 0 \le k \le n } (a + bk) \\ & = \sum_{ 0 \le n-k \le n } (a + b(n-k)) & (교환법칙) \\ & = \sum_{ 0 \le k \le n } (a + bn -bk) \\ & \because 0 \le n-k \le n \; 와 \; 0 \le k \le n \; 는 \; 같다. \\ \\ 2S & = \sum_{ 0 \le k \le n } (a + bk) + \sum_{ 0 \le k \le n } (a + bn -bk) \\ & = \sum_{ 0 \le k \le n } (a2 + bn) & (결합법칙) \\ & = (2a + bn) \sum_{ 0 \le k \le n } 1 \\ & = (2a + bn)(n + 1) \\ \\ S & = \frac{1}{2}(2a + bn)(n + 1) \\ & = \underbrace {\frac{1}{2}(a + (a + bn))}_{첫 항과 마지막 항의 평균} \underbrace {(n + 1)}_{항의 갯수} \\ \end{align}\]

합의 추가적인 성질들

서로 다른 색인 집합을 결합할 때의 규칙.

\[\text{if K and K' are any sets of integers, then} \\ \sum_{k \in K} a_k + \sum_{k \in K'} a_k = \sum_{k \in K \cap K'} a_k + \sum_{k \in K \cup K'} a_k \\ \tag{2.20}\label{2.20}\]

K = [1,2,3] 이고 K' = [3,4,5] 라면 다음과 같이 된다는 말이다.

\[(a_1 + a_2 + a_3) + (a_3 + a_4 + a_5) = (a_3) + (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5)\]

응용

서로 소인 두 색인 집합을 합친다.

\[\begin{align} \sum_{k = 1}^m a_k + \sum_{k = m}^n a_k & = a_m + \sum_{k = 1}^n a_k, \quad for \; 1 \le m \le n. \\ (a_1 + a_2 + ... + \color{red}{a_m}) + (\color{red}{a_m} + a_{m+1} + ... + a_n) & = \color{red}{a_m} + (a_1 + a_2 + ... + \color{red}{a_m} + ... + a_n) \\ \end{align}\]

합에서 항 하나를 분리한다.

\[\sum_{0 \le k \le n} a_k = \color{red}{a_0} + \sum_{\color{red}1 \le k \le n} a_k, \quad for \; n \ge 0.\]

섭동법(perturbation method)

\[\begin{align} S_n & = \sum_{0 \le k \le n} a_k \\ \\ S_n + a_{n+1} & = \sum_{0 \le k \le n+1} a_k \\ & = a_0 + \sum_{1 \le k \le n+1} a_k \\ & = a_0 + \sum_{1 \le k+1 \le n+1} a_{k+1} \\ & = a_0 + \sum_{0 \le k \le n} a_{k+1} \\ \end{align} \tag{2.24}\label{2.24}\]

예1: 등비수열의 합 공식 유도

\[\begin{align} S_n & = \sum_{0 \le k \le n} ax^k. \\ S_n + ax^{n+1} & = ax^0 + \sum_{0 \le k \le n} ax^{k+1} \quad \because \eqref{2.24} \\ & = a + x \sum_{0 \le k \le n} ax^k \\ & = a + x \cdot S_n \\ S_n & = a + x \cdot S_n - ax^{n+1} \\ S_n - x \cdot S_n & = a - ax^{n+1} \\ S_n (1 - x) & = a (1 - x^{n+1}) \\ \\ S_n & = { a (1 - x^{n+1}) \over 1 - x}, \quad for \; x \ne 1. \\ \end{align}\]

예2: 조금 더 복잡한 형태의 합에 섭동 기법 적용

\[\begin{align} S_n & = \sum_{0 \le k \le n} k 2^k \\ \\ S_n + (n+1) \cdot 2^{n+1} & = 0 \cdot 2^0 + \sum_{0 \le k \le n} (k+1) \cdot 2^{k+1} \quad \because \eqref{2.24} \\ & = \sum_{0 \le k \le n} (k+1) \cdot 2^{k+1} \\ & = \sum_{0 \le k \le n} k 2^{k+1} + \sum_{0 \le k \le n} 2^{k+1} \\ & = \sum_{0 \le k \le n} k 2^k \cdot 2 + \sum_{0 \le k \le n} 2^k \cdot 2 \\ & = 2S_n + 2 \sum_{0 \le k \le n} 2^k \\ & = 2S_n + 2 \cdot \frac{2^0 (1 - 2^{n+1})}{1 - 2} \\ & = 2S_n + 2 (-1 + 2^{n+1}) \\ & = 2S_n + (2^{n+2} -2) \\ \\ S_n - 2S_n & = (2^{n+2} -2) - (n+1)2^{n+1} \\ & = 2 \cdot 2^{n+1} -2 - n2^{n+1} - 2^{n+1} \\ & = 2^{n+1} -n2^{n+1} - 2 \\ -S_n & = (1 - n)2^{n+1} - 2 \\ \\ S_n & = (n - 1)2^{n+1} + 2 \\ \end{align}\]

예3: 예2의 일반화(2대신 x 사용)

\[\require{cancel} \begin{align} S_n & = \sum_{0 \le k \le n} k x^k \\ \\ S_n + (n+1) \cdot x^{n+1} & = 0 \cdot x^0 + \sum_{0 \le k \le n} (k+1) \cdot x^{k+1} \quad \because \eqref{2.24} \\ & = \sum_{0 \le k \le n} (k+1) \cdot x^{k+1} \\ & = \sum_{0 \le k \le n} k x^{k+1} + \sum_{0 \le k \le n} x^{k+1} \\ & = \sum_{0 \le k \le n} k x^k \cdot x + \sum_{0 \le k \le n} x^k \cdot x \\ & = xS_n + x \sum_{0 \le k \le n} x^k \\ & = xS_n + x \cdot \frac{\cancel{x^0} (1 - x^{n+1})}{1 - x} \\ & = xS_n + \frac{x - x^{n+2}}{1 - x} \\ S_n - xS_n & = - (n+1) \cdot x^{n+1} + \frac{x - x^{n+2}}{1 - x} \\ S_n(1 - x) & = {-(n+1) \cdot x^{n+1} \cdot (1-x) \over (1-x)} + \frac{x - x^{n+2}}{(1 - x)} \\ S_n & = {-(n+1) \cdot x^{n+1} \cdot (1-x) \over (1-x)^2} + \frac{x - x^{n+2}}{(1 - x)^2} \\ S_n & = {\left( -(n+1) \cdot x^{n+1} \cdot (1-x) \right) + x - x^{n+2} \over (1-x)^2} \\ S_n & = {\left( -(n+1) \cdot x^{n+1} +(n+1) \cdot x^{n+2} \right) + x - x^{n+2} \over (1-x)^2} \\ S_n & = { (n+1-1)x^{n+2} - (n+1)x^{n+1} + x \over (1-x)^2} \\ S_n & = { nx^{n+2} - (n+1)x^{n+1} + x \over (1-x)^2}, \quad for \; x \ne 1. \\ \\ \end{align}\]

닫힌 형식을 미분해보면

다음과 같이 합의 식을 닫힌 형식으로 풀어낸 것을 미분해 보자.

\[\underbrace{ \sum_{k=0}^n x^k }_\text{합의 식} = \underbrace{ 1 - x^{n+1} \over 1 -x }_\text{닫힌 형식}\]

양변에서 x의 도함수를 취하면(미분하면) 다음과 같다. (어차피 다 덧셈이라 가능)

\[\begin{align} \sum_{k=0}^n k x^{k-1} & = { (1-x)(-(n+1)x^n) + 1 - x^{n+1} \over (1-x)^2 } \\ & = { 1 - (n+1)x^n + nx^{n+1} \over (1-x)^2 } \\ \end{align}\]
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